专题15 二次函数与反比例函数综合题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编

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专题15 二次函数与反比例函数综合题
1．（•宁波）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
（1）求点的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，请根据图象直接写出的取值范围．

【答案】（1），反比例函数的关系式为；（2）的取值范围为或
【详解】（1）把的坐标代入，即，
解得，
，
又点是反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
（2）点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，
或，
当时，，当时，，
由图象可知，
若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，的取值范围为或．
2．（2021•宁波）如图，二次函数为常数）的图象的对称轴为直线．
（1）求的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由二次函数为常数）知，该抛物线与轴的交点坐标是和．
对称轴为直线，
．
解得；
（2）由（1）知，，则该抛物线解析式是：．
抛物线向下平移3个单位后经过原点．
平移后图象所对应的二次函数的表达式是．
3．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于，两点，与轴交于点．点的坐标是．
（1）求，两点的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【答案】（1）见解析；（2）点平移到点，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为
【详解】（1）把代入，得，解得，
，
，
对称轴为直线，，关于对称，
，
当时，．

（2），
点平移到点，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为．
4．（2019•宁波）如图，已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值和图象的顶点坐标．
（2）点在该二次函数图象上．
①当时，求的值；
②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围．

【答案】（1），顶点坐标为；（2）①11；②
【详解】（1）把点代入中，
，
，
顶点坐标为；
（2）①当时，，
②点到轴的距离小于2，
，
，
；
5．（2018•宁波）已知抛物线经过点，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
【答案】（1）；（2）将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为
【详解】（1）把，代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为．
6．（2022•镇海区一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于，两点，与轴交于点．点的坐标是．
（1）求，两点的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围．
（2）将图象向上平移个单位后，二次函数图象与轴交于，两点，若，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）8
【详解】（1）把代入，得，解得，
，
，
对称轴为直线，，关于对称，
，
当时，．
（2）抛物线向上平移个单位，可得抛物线的解析式为，
设二次函数图象与轴交于，，，两点，则，，
，
，
，
，
．
7．（2022•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，交直线于点，连结．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）求的面积．

【答案】（1）抛物线的表达式为，对称轴为直线（2）
【详解】（1）把，代入中，

解方程组得：，，
，
抛物线的对称轴为直线，
即对称轴为直线．
（2）设直线得解析式为：
，
把，代入直线解析式得

，，
，
抛物线的对称轴为直线，
即，
把代入中，
，
，


．
故得面积为．
8．（2022•北仑区一模）如图，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若将上述抛物线向右平移个单位，此时点平移到点，点平移到点，连接，，，若四边形是菱形，求平移后抛物线的解析式．

【答案】（1）；（2）向右平移5个单位后，函数解析式为
【详解】（1）将点和点代入得，
，
解得，
；
（2）如图，、．
，，

由勾股定理得，，
四边形是菱形，
，
，
，
向右平移5个单位后，函数解析式为．
9．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴．
（2）当时，的最大值是2．求当时，的最小值．
【答案】（1）点坐标为，抛物线对称轴为直线；（2）
【详解】（1）将代入得，
点坐标为，
，
抛物线对称轴为直线．
（2），
抛物线开口向下，
抛物线对称轴为直线，
当时，时取最大值2，
将代入得，
解得，
，
将代入得，
的最小值为．
10．（2022•宁波一模）如图所示，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为点．
（1）求的值；
（2）若经过点的一次函数平分的面积．求、的值．

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的一个交点为，
，
．
（2）一次函数平分线段，
一次函数经过的中点，
令，
解得，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为，
一次函数经过点
，
解得：．
11．（2022•鄞州区模拟）如图，已知抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，求的取值范围；
（3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为（2）；（3）点坐标为或
【详解】（1）把、分别代入中，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
，
顶点坐标为．
（2）由图可得当时，．
（3）、，
．
设，则，
，
．
①当时，，解得：，，
此时点坐标为或；
②当时，，方程无解；
综上所述，点坐标为或．
12．（2022•海曙区一模）二次函数的自变量与函数值的对应值如表，根据下表回答问题．





0





0
4

（1）该二次函数与轴交点是 　　，对称轴是 　　．
（2）求出该二次函数的表达式；
（3）向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图象所对应的二次函数表达式．
【答案】（1）；直线；（2）；（3）
【详解】（1）由表格可得，当时，，
二次函数与轴交点是，
和的函数值相同，都是，
抛物线的对称轴是直线，
故答案为：，直线；
（2），，均在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（3）抛物线向下平移4个单位后经过原点．
平移后图象所对应的二次函数的表达式是．
13．（2022•宁波模拟）已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标．
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在点处，并写出平移后抛物线的表达式．
【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点为；（2）见解析
【详解】（1）抛物线经过，，三点，而、两点的纵坐标相同，
抛物线的对称轴为直线，
，即，
把的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为，
，
顶点为；
（2）抛物线的顶点为，，
把抛物线向左平移一个单位，向上平移2个单位平移后抛物线的顶点落在点处，
平移后抛物线的表达式为．
14．（2022•海曙区校级一模）已知二次函数是实数）．
（1）小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
（2）已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
【答案】见解析
【详解】（1）解：小明说法正确，理由如下：
是实数），
顶点坐标为，
二次函数图象的顶点始终在直线上运动，
故小明说法正确；
（2）证明：点，都在该二次函数图象上，
对称轴为直线，
，
，
，
，
．
15．（2022•鄞州区校级一模）已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）①1或5；②
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
把点代入得，
解得，
，
该二次函数的解析式为；
（2）①当时，则，
解得，；
故的值为1或5；
②，
当时，函数有最小值，
当时，即时，有最小值，
故的取值范围是．
16．（2022•江北区一模）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与直线相交于、两点，点是原点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求点的坐标．
（3）直接写出不等式的解．

【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）设抛物线顶点式为，
将代入得，
解得，
．
（2）令，
解得，，
将代入，
点坐标为，．
（3）由图象可得时，抛物线在直线下方，
不等式的解为．
17．（2022•镇海区校级模拟）如图，直线与双曲线交于、两点，是第一象限内的双曲线上任意一点．
（1）若点坐标为，，求点坐标．
（2）若，连接，若的面积是34，求值．
（3）设直线、分别与轴相交于、两点，且，，求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）2
【详解】（1）把点代入得：，
反比例函数解析式为，
点坐标为，
由反比例函数与正比例函数图象的对称性可得点坐标为，
设，又，，
，，，
，
，
整理化简得，
，
解得（与重合，舍去）或（舍去）或或（舍去），
；
（2）设，，则，
将代入，得：，
，
，则，
，
如图2，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：，，
是第一象限内的双曲线上任意一点，
，，
，
过点作于点，
则，
，
的面积是34，
，即，
，
；
（3）设，代入得：，
，
解得：，，
，，，，
过点、、分别作轴的垂线、、，垂足分别为、、，过点作轴的平行线交于，交于，
则，，，，
，，，
，，
，，
，，
，，
，
的值为2．

18．（2022•宁波模拟）已知反比例函数为常数）的图象在第一、三象限．
（1）求的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过的顶点，点，的坐标分别为，，求出该反比例函数的解析式；
（3）若，，，都在该反比例函数的图象上，且，则和有怎样的大小关系？

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）的图象在第一、三象限，
，
；
（2）四边形为平行四边形，
，，
点坐标为，
，
该反比例函数的解析式为；
（3），
，两点都在第一象限，
又该反比例函数在每一个象限内，函数值都随的增大而减小，
．
19．（2022•宁波模拟）如图，二次函数为常数）的图象的对称轴为直线．
（1）求的值．
（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由二次函数为常数）知，该抛物线与轴的交点坐标是和．
对称轴为直线，
．
解得；
（2）由（1）知，，则该抛物线解析式是：，即．
抛物线向上平移3个单位后经过原点．
平移后图象所对应的二次函数的表达式是．
20．（2022•鄞州区一模）如图，抛物线与抛物线相交于点，点的横坐标为1．过点作轴的平行线交抛物线于点，交抛物线于点，抛物线与分别与轴交于点，．
（1）求抛物线的对称轴和点的横坐标；
（2）求线段和的长；
（3）点在抛物线上，点在抛物线上，请比较与的大小关系并说明理由．

【答案】（1）点的对称轴为，横坐标为；（2）；（3）见解析
【详解】（1）抛物线的对称轴为，
轴，
点与点关于对称轴对称，
点的横坐标为；
（2）抛物线的对称轴为，
轴，
点与点关于对称轴对称，
点的横坐标为3，
；
点是抛物线与抛物线的交点，
，
，
令，则，，
；
（3）根据，，的横坐标以及函数图象可知，点在下方，点在上方，
．
21．（2022•慈溪市一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．抛物线经过点，且交线段于点，．
（1）求的值．
（2）求点的坐标．
（3）向左平移抛物线，使得抛物线再次经过点，求平移后抛物线的函数解析式．

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）令，
解得，，
点坐标为，
将代入得，
解得．
（2）令，
解得，，
将代入得，
点坐标为．
（3）将代入得，
解得，，
抛物线经过，
抛物线向左平移2个单位后再次经过点，
．
22．（2022•镇海区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线、均为常数）交于点和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，点在点正下方（即轴），且，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．

【答案】（1），；（2）或；（3）或
【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；
（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得，或（不符合题意，舍去），
即点的坐标为，
从图象看，不等式的解集为或；
（3）由题意设点的坐标为，则点，
线段与抛物线只有一个公共点，
，
解得：或，
点的横坐标的取值范围为或．
23．（2022•余姚市一模）已知：一次函数，二次函数，为常数），
（1）如图，两函数图象交于点，．求二次函数的表达式，并写出当时的取值范围．
（2）请写出一组，的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．

【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）将代入得，
将代入得，
解得，
抛物线经过点，，
将，代入得，
解得，
，
由图象可得时，抛物线在直线上方，
时的取值范围是．
（2）令，整理得，
当△时，两函数图象只有一个公共点，
，，满足题意．
24．（2022•江北区模拟）小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：


0
1
2
3
4



3
6
7
6
3

（1）请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：　　；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线；求抛物线的解析式．
【答案】（1）抛物线与轴交于或抛物线的对称轴为直线或抛物线的顶点是（答案不唯一，写出一条即可）；（2）；（3）
【详解】（1）由，可知抛物线与轴交于，
由，；，知抛物线的对称轴为直线，
结合，可知抛物线的顶点是等，
故答案为：抛物线与轴交于或抛物线的对称轴为直线或抛物线的顶点是（答案不唯一，写出一条即可）；
（2）将，，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（3），
抛物线的顶点是，
把先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度得，
抛物线的顶点为，
抛物线的解析式为，
即．
25．（2022•宁波模拟）已知二次函数为常数）的图象与轴交于，两点，顶点为．
（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求的值．
（2）①若，在已知的二次函数图象上，比较，的大小；
②求的面积．
【答案】（1）；（2）①；②1
【详解】（1）二次函数图象向下平移3个单位后解析式为，
由题意得，
解得．
（2）①，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
．
②令，则，
解得，，
，点坐标为欸，
．
26．（2022•宁波模拟）二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分
别交于点和点．
（1）求，的值，并根据图象直接写出当时，的取值范围；
（2）平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点．

【答案】（1），；当时，的取值范围为；（2）函数图象与轴的交点为，和，，与轴的交点为
【详解】（1）由题意得：，
解得：，
，
令，则，
解得：，，
二次函数的图象与轴的交点坐标为和，
结合图象可知，当时，的取值范围为，
，；当时，的取值范围为，
（2），
点平移到点，抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为，
令时，，
函数图象与轴的交点坐标为，
令，则，
解得：，
函数图象与轴的交点为，和，，与轴的交点为．
27．（2022•宁波模拟）已知二次函数的部分图象如图所示．
（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程的解．
（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【答案】（1）抛物线对称轴为直线，，；（2）
【详解】（1），
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
抛物线过点，
的解为，．
（2）抛物线经过原点，
抛物线解析为．
28．（2020秋•平阴县期末）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．

【答案】（1）；（2）6；（3）或
【详解】（1）把代入得，
所以反比例函数解析式为，
把代入得，解得，则点坐标为，
把、代入得，解得，
所以一次函数解析式为；
（2）把代入得，解得，则点坐标为，
所以；
（3）或．
29．（2022•鄞州区校级三模）已知点和都在二次函数的图象上．
（1）求、的值；
（2）将二次函数图象向上平移几个单位后，得到的图象与轴只有一个公共点？
【答案】（1），= 5；（2）3个
【详解】（1）点、是二次函数图象上的两点，且两点纵坐标都为
点、关于抛物线对称轴对称，
抛物线对称轴是直线，
，解得，
抛物线解析式为，
当时，；
（2）设平移后抛物线的关系式为，
平移后的图象与轴仅有一个交点，
△，解得，
即将二次函数图象向上平移3个单位时，函数图象与轴仅有一个公共点．
30．（2022•鄞州区模拟）已知抛物线与轴交于点、，其中点坐标为，对称轴是直线，且抛物线与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）点是轴右侧抛物线上的动点，且到轴的距离不超过3，求的取值范围．

【答案】（1）抛物线的解析式，顶点坐标为；（2）
【详解】（1）抛物线与轴交于点、，点坐标为，对称轴是直线，
点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即；
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）当时，，
当时，，
当时，，
是轴右侧抛物线上的动点，且到轴的距离不超过3，
的取值范围为．
31．（2022•海曙区校级三模）如图，直线和抛物线都经过点，．
（1）求的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式的解集．（直接写出答案）

【答案】（1），；（2）或
【详解】（1）把点，分别代入直线和抛物线得：
，，
，，，
所以，；
（2），解得：或．