专题19 圆压轴题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编

专题19 圆压轴题1．（•宁波）如图1，为锐角三角形的外接圆，点在上，交于点，点在上，满足，交于点，，连结，．设．（1）用含的代数式表示．（2）求证：．（3）如图2，为的直径．①当的长为2时，求的长．②当时，求的值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）①3；②【详解】（1），①又，②②①，得，；（2）由（1）得，，，，，，，，在和中，，；（3）①，，，，，，是的直径，，，与所对的圆心角度数之比为，与的长度之比为，，；②如图，连接，，，，，，，，设与的相似比为，，，设，则，，，，，由，得，解得或（舍去），，，，在中，，．方法二：连接，作于，由题意知，和都是等腰三角形，，设，，设，则，，，，，即，解得或（舍去），．2．（2021•宁波）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点，与交于点．（1）若，请用含的代数式表示．（2）如图2，连结，．求证：．（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．①若，求的周长．②求的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②【详解】（1）为的直径，，，，；（2）为的直径，，，，，，，又，，，；（3）①如图，连接，为的直径，，在中，，，，，，即，，，，在中，，，，，在中，，，，在中，，，的周长为；②如图，过点作于，，，，，，，，，，，，，，，，设，，，在中，，，当时，的最小值为3，的最小值为．3．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．（2）如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连接并延长交的延长线于点．求证：是中的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若是的直径．①求的度数；②若，，求的面积．【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②【详解】（1）平分，平分，，（2）如图1，延长到点，四边形内接于，，又，，平分，，，，是的平分线，，，，，，，是的外角平分线，是中的遥望角．（3）①如图2，连接，是中的遥望角，，，，，，，，又，，，，，是的直径，，，，②如图3，过点作于点，过点作于点，是的直径，，平分，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，在中，，设，，则有，，，，，，，，，，，．4．（2019•宁波）如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连接，交于点．（1）求证：．（2）当，时，求的长．（3）设，．①求关于的函数表达式；②如图2，连接，，若的面积是面积的10倍，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②【详解】证明：（1）是等边三角形，，，，，；（2）如图1，过点作于点，是等边三角形，，，在中，，，，，，，，在中，；（3）①如图1，过点作于点，，在中，，，，，，，，在中，，；②如图2，过点作于点，设，，，，，，，，，，，的面积，的面积，的面积是的面积的10倍，，，解得：，.5．（2018•宁波）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段上一动点．以点为圆心，长为半径作交轴于另一点，交线段于点，连接并延长交于点．（1）求直线的函数表达式和的值；（2）如图2，连接，当时，①求证：；②求点的坐标；（3）当点在线段上运动时，求的最大值．【答案】（1）直线的函数表达式，；（2）①见解析；②，；（3）【详解】直线与轴交于点，，，直线的函数表达式，，，，在中，；（2）①如图2，连接，，，，，，四边形是的圆内接四边形，，，，，②过点作于，由①知，，设，则，，，，，，由①知，，，，，，，（舍或，，，，，（3）如图，设的半径为，过点作于，，，，，，，，，，连接，是直径，，，，，，，时，最大值为．6．（2022•镇海区一模）如图，是的外接圆，点在上，连结，，，过点作的平行线交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，若，，，求；（3）如图3，为的内心，若在线段上，，，当最大时，求出的半径．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：点在圆上，，，又，，；（2）解：由（1）可得，，，，；（3）解：由（2）得：，，如图，作，，设，，，，解得，，故，，连接，为的内心，，，，，，当时，最大，此时，连接交于点，由勾股定理可得出，，，解得，即圆的半径为．7．（2022•宁波模拟）如图①，在中，，是上一点（不与点，重合），以为圆心，长为半径作交于点，连结并延长交于点，连结，，．（1）求证：；（2）如图②，若，求证：；（3）如图③，，．①若，求的半径长；②求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②【详解】（1）证明：在优弧上任意取一点，连接，，四边形是圆内接四边形，，，，，；（2）作于，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：①在中，由勾股定理得，，，，，，，解得；②作于，，，，，，在中，由勾股定理得，，，当时，最大值为．8．（2022•北仑区一模）有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．（1）如图1，在等邻边互补四边形中，，且，，则　　．（2）如图2，在等邻边互补四边形中，，且，求证：．（3）如图3，四边形内接于，连结并延长分别交，于点，，交于点，若点是的中点，，，，求的长．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）解：如图1中，作交于，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，是等边三角形，，故答案为：；（2）证明：如图2中，延长到，使，连接，，，，，，，在和中，，，，，，，即，、、均为正数，；（3）解：如图3中，连接，，，，作于，于，点是的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，是的直径，，，，，，点是的内心，，设，，，，．9．（2022•宁波模拟）如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连结交于点，连结．（1）求证：．（2）如图②，若，求证：．（3）如图③，连结，．．①若，求的长；②求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①6；②【详解】（1）证明：连接，如图，是的直径，．．弦于点，．．，．（2）证明：连接，如图，是的直径，弦，．，．．．即．．（3）解：①过点作于点，连接，，如图，，，，．．弦于点，．，．由（1）得：．．，．设，则．，，．，．．．②连接，如图，四边形是圆的内接四边形，．．，当取最大值时，最大．点为上任意一点，当点为的中点时，的面积最大．若为的中点，连接，交于点，如图，则，且，，．．．．．的最大值为：．10．（2022•宁波一模）如图1，在等腰中，，，点是线段上一点，以为直径作，经过点．（1）求证：是的切线；（2）如图2，过点作垂足为，点是上任意一点，连结．①如图2，当点是的中点时，求的值；②如图3，当点是上的任意一点时，的值是否发生变化？请说明理由．（3）在（2）的基础上，若射线与的另一交点，连结，当时，直接写出的值．【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析；（3）【详解】（1）证明：如图1，连结．，，，以为直径作，经过点，，，，且点在上，是切线；（2）解：①如图，连结，．，，，，，，，点是的中点，，，，；②的值不发生变化，仍为，理由如下：连结，，，，，，；（3）解：①如图，当点在点的左侧时，连结，，，，设与交于．，，，，，设，则，，，，设，则，，，，，，，即，②当点在点的右侧时，同理可得，．的值．11．（2022•北仑区二模）【证明体验】（1）如图1，是等腰的外接圆，，在上取一点，连结，，．求证：；【思考探究】（2）如图2，在（1）条件下，若点为的中点，，，求的值；【拓展延伸】（3）如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）【详解】（1）证明：，．．，，，．．（2）解：延长至点，使，连接，如图，点为的中点，．，．．．．，．．，．，，．，，．．设，则，，．．解得：或（负数不合题意，舍去）．；（3）连接，，过点作于点，如图，的半径为5，，，为等边三角形．．．在中，，．在中，．．四边形是圆的内接四边形，．，．．．12．（2022•鄞州区模拟）如图，为的直径，弦交于点，且．（1）求证：；（2）点在弧上，且，连接交于点，求证：；（3）①在（2）的条件下，若，设，，求关于的函数关系式；②求出使得有意义的的最小整数值，并求出此时的半径．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②【详解】（1）证明：如图1中，连接，，设．，，，，，，，，，，，；（2）证明：连接，延长交于．由（1）可知，，，，，，，．（3）解：①连接，延长交于，过点作于，于．由（2）可知，，，，，，，，，，，，，，．②设，当时，，解得或，的最小整数值为3，，，，，（负根已经舍去），此时的半径为．13．（2022•海曙区一模）【基础认知】（1）如图1，点为内部一点，交于点，已知，求证：平分；【综合运用】（2）在（1）的情况下，作于点．①如图2，若，，求的长；②如图3，延长至点，使，过，，三点作圆交于点，交的延长线于点．若，求圆的直径；（用含的代数式表示）③在（2）的情况下，设，，当时，求关于的函数关系式．【答案】（1）见解析；（2）①8；②；③【详解】（1）证明：，．，．．即平分；（2）解：①过点作于点，如图，，，四边形为矩形．，．，．设，则．，．在中，，．解得：．；②，，垂直平分．是圆的直径．设圆心为点，如图，连接，由（1）知：．，．．在和中，，．．，，．．圆的直径．③连接，，过点作于点，如图，平分，，，．，．．，，．，，．．．是圆的直径，．，．．．．．同理：．平分，．．．．，．．．即．，．．．关于的函数关系式为．14．（2022•宁波模拟）如图1，内接于，的外角的平分线交于点（点在弧之间），连结，．（1）求证：．（2）若，，求的长．（3）如图2，在（2）的条件下，作于点．①若，求的周长．②求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②10【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形，，是的平分线，，，，，；（2）解：如图1，过点作于，则，，，，在中，，设，，根据勾股定理得，，由（1）知，，，在中，，根据勾股定理得，，，或（舍，；（3）解：①如图2，过点作于，则，，，，，，，，，，，，的周长为，在中，，，，，的周长为；②如图3，过点作于，，必过圆心，，，在中，，连接，在中，设，则，，根据勾股定理得，，，即，过点作于，由①知，，在中，，，，，，，，，，，，在的延长线上取点，使，，，要最大，则最大，，，，，，，，，即的最大值其实就是的最大值，为的弦，最大为，即的最大值为10．15．（2022•海曙区校级一模）如图，四边形内接于半圆，是半圆的直径，是半圆的切线，交的延长线于点，，与相交于点，连结并延长交的延长线于点，连结．（1）求证：．（2）探究与的数量关系．（3）求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：是半圆的切线，，，；（2）解：；理由如下：连接，如图：，，即，由（1）知，，，，，同理，，，，，，，，又，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，又，，，而，；（3）解：过作交延长线于，如图：由（2）知，，是线段的垂直平分线，，，，是等边三角形，，四边形是菱形，，，在中，，，设，则，，，四边形是矩形，，，，，在中，．答：的值为．16．（2022•鄞州区校级一模）等腰三角形中，且内接于圆，、为边上两点在、之间），分别延长、交圆于、两点（如图，记，．（1）求的大小（用，表示）；（2）连接，交于（如图．若，且．求证：；（3）在（2）的条件下，取中点，连接、（如图，若，①求证：，；②请直接写出的值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析；②或【详解】（1）解：如图1中，连接．，，，，；（2）证明：如图2中，，，，，，，，，，，，，；（3）①证明：如图3中，连接，延长交于点．，，，，是直径，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；②解：连接，．，又．，，，，，，，，设，则，，设，，，，，，整理得，或，或．17．（2022•江北区一模）如图1，四边形是的内接四边形，其中，对角线、相交于点，在上取一点，使得，过点作交于点、．（1）证明：．（2）如图2，若，且恰好经过圆心，求的值．（3）若，，设的长为．①如图3，用含有的代数式表示的周长．②如图4，恰好经过圆心，求内切圆半径与外接圆半径的比值．【答案】（1）见解析；（2）12；（3）①；②【详解】（1）证明：，．．，．（2）解：，．为的直径，，．，，，．．，．，．．，．．，．．．（3）解：①，，．，．．．，，．．．，．，，．．．．的周长．②为的直径，．．外接圆半径为．在中，．由①的结论可得：，，的周长，．设内切圆半径为，的周长．．．内切圆半径与外接圆半径的比值．18．（2022•宁波模拟）定义：四边形中，，，则称四边形为半角四边形，边称为半对边．（1）如图①，若四边形为半角四边形，且为半对边，设，用含有的代数式表示；（2）如图②，等腰，，点为其内部一点，，连结，作的外接圆，的延长线交于点，连结，，求证：四边形为半角四边形；（3）如图③，在（2）的条件下，延长交于点，连结，．①求证：；②若，，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析；②【详解】（1）解：四边形是半角四边形，为半对边，，，，，，，，，，；（2）证明：，，，，，，，，，，四边形为半角四边形；（3）①证明：如图③中，连接．，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，；②如图中，延长交的延长线于点，延长交于点，过点作于点，由（2）可知，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在上取一点，使得，，，，，，，，，，，，，由，可得，，，，，，，四边形的面积的面积的面积．19．（2022•鄞州区一模）如图1，中，边上的中线，延长交的外接圆于点，过点作交圆于点，延长交的延长线于点，连接．（1）若，，求和的长；（2）①求证：；②设，，求关于的函数表达式；（3）如图2，作交线段于，连接，当的面积是面积的6倍时，求的值．【答案】（1）=2；= 4；（2）①见解析；②；（3）【详解】（1）解：，，为等边三角形，．是的中点，．，，，为直角三角形，，点为圆心，即为直径，；，为在中点，为的中位线，；（2）①证明：连接，如图，，，．，，，，，，，，；②解：过点作于点，如图，，，，，，．，，设，则，，，，，，，，关于的函数表达式为：；（3）连接，设与交于点，如图，，，，，，在和中，，．．，，，，，，，，即：，由（2）知：，，，在和中，，．．，是的垂直平分线，，，，．，的面积是面积的6倍，，的面积是的3倍，，的面积是的3倍，，，，，，，，，，解得：，．20．（2022•慈溪市一模）如图1，在中，为弦的中点，过点作直径，为线段上一点，连结并延长交于点，连结，．（1）证明：．（2）当时，求．（3）如图2，连结交于点，当时，设，，求关于的函数解析式，并确定的最大值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）关于的函数解析式，的最大值为2【详解】（1）证明：连接，，如图，为弦的中点，过点作直径，，．是的垂直平分线．，，．．，．，．，，．，，．．（2）解：连接，如图，，，．，．，设，则．．．．；（3）解：连接，，如图，由（1）知：．．，．．．，．，是圆的直径，．，，．，．．，．，．，，当时，有最大值2．关于的函数解析式，的最大值为2．21．（2022•镇海区二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴负半轴上一点，过、、三点的（圆心落在第四象限）交轴负半轴于点，连结，已知．（1）　　（请用的代数式表示），并求证：；（2）若，求点的坐标；（3）如图2，连结并延长，交于点，交于点，①若，求的长；②若，请直接写出四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①4；②【详解】（1），，，，，，，；故答案为：；（2）如图1，若，直线的解析式为，当时，，点的坐标是，当时，即，，点的坐标是，，，，，在中，，，，点的坐标是；（3）①如图2，连接，，，，是的直径，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，；②，，设，，其中，由①知：，，设，则，又，，，，，，，，由（1）知：，，在中，，，解得：，，，，，，，，，，即，，，．22．（2022•余姚市一模）如图1，在中，，于，为边上的点，过、、三点的交于，连结，．（1）求证：．（2）若，求的面积．（3）如图2，点为上一动点，连结，，．①若为的中点，设为，的面积为，求关于的函数表达式．②在点运动过程中，试探索，，之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②见解析【详解】（1）证明：中，，，中，，，，．．四边形是圆的内接四边形，．在和中，，．；（2）解：连接，如图，，，．，，，，为的直径，，．，．，．，，．．．的面积；（3）解：①连接，，，如图，为，，，，，．为的中点，．，，，．，，，；②，，之间的数量关系为：．理由：连接，过点作，交于点，如图，，，，，．，为等腰直角三角形，．在和中，，，，，为等腰直角三角形，．．23．（2022•江北区模拟）如图1，四边形内接于，是弧的中点，的平分线交于点．（1）求证；．（2）如图2，是上的动点，连结并延长交直线于点，连结，，求证：．（3）如图3．在（2）的条件下，若是的直径，且点与点关于对称．①当时，求的值．②若，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②【详解】（1）证明：点是的中点，，，，平分，，，，平分，，，即：，，；（2）证明：如图1，连接，由（1）知：，，，，，，，，，，，；（3）①解：如图2，连接，交于，作直径，连接，设和交于点，点与点关于对称，，，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，，，，是的直径，，，，，，，，，在中，，，，，；②如图3，连接，交于，作直径，连接，设和交于点，设的半径为，由①得，，，，，，，，，设，，．24．（2022•宁波模拟）如图，为半的直径，点是圆弧上一点，为上的点，且，过作弦，使点为的中点，连结，，，．（1）如图①，若，且，求的长．（2）如图②，当点是半上任一点时．求证：．（3）如图②，若，，求与的函数关系式．（4）如图②，当时，求的值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）【详解】（1）解：连接，，交于点，点为的中点，，，，，，，，，；（2）证明：点为的中点，，，，，，，，，；（3）解：，，，，设，，，，，，，即；（4）解：连接，，交于点，点为的中点，，，，，设，则，，由（2）知，，，，，，，设，则，，解得，，，．25．（2022•宁波模拟）已知为的直径，弦交于点（点不与重合），连结，，．（1）如图1，求证：．（2）如图2，过点作弦于点，求证：．（3）如图3，在（2）的条件下，点为弧上一点，连结，，交于点，若，，．①求的长；②求的半径．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②5【详解】（1）证明：如图1，连接，，，在的垂直平分线上，，在的垂直平分上，两点确定一条直线，是的垂直平分线，；（2）证明：如图2，，，，，，，于点，，，，，；（3）解：①如图3，连接，，设，，，，，，，，，，，，，，，，；②延长至，使，连接，，，为圆直径，，在中，，设，则，，，，，，，，，，，解得或5，，，即圆的半径为5．26．（2022•宁波模拟）如图，内接于，，点为劣弧上动点，延长，交于点，作交于，连结．（1）如图①，当点为的中点时，求证：；（2）如图②，若，，请用含有的代数式表示；（3）在（2）的条件下，若，①求证：；②求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；②【详解】（1）证明：如图①，连接，点为的中点，，，，，，；（2）解：由（1）可得，，，则，，，，；（3）①证明：如图②，延长至点，使，连接，，则，又，，，，即点为的中点，点为的中点，，即；②解：，，，又，，，即，设，，则，解得或（舍去），，，又，同理得，，过点作于点，，，，．27．（2022•鄞州区校级三模）如图，是的直径，点是上的一点，点为弧的中点，过点作的平行线交的延长线于点．（1）如图1，求证：；（2）若的半径为3，求的最大值；（3）如图2，连接，设，，①求关于的函数解析式；②若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）36；（3）或【详解】（1）证明：，，，，点为弧的中点，，，；（2）解：，，即，又的半径为3，．即的最大值为36；（3）解：①，，，过点作，不妨设，，，，，；②，，，即，将代入得，，解得，，，当时，，当时，，或．28．（2022•鄞州区模拟）如图1，锐角内接于，弦于点．已知半径为5，且．（1）求证：为等腰直角三角形．（2）若，求的面积．（3）若，的面积为，求关于的函数解析式．（4）如图2，若的面积为，点，分别在，上，连结，，若，求面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）28；（3）；（4）【详解】（1）证明：，．，，，．，，为等腰直角三角形；（2）解：过点作于点，于点，连接，如图，，，．设，则，则，，，，，，四边形为矩形，，在中，，，解得：（负数不合题意，舍去），．，，的面积；（3）解：过点作于点，于点，连接，如图，，，．，，设，则，，则，，，，，，四边形为矩形，，在中，，，．，关于的函数解析式为：；（4）解：连接，，如图，由（1）知：为等腰直角三角形，，．，，的面积为，，．，，．，．过点作于点，延长交于点，如图，，点为的中点，，，．，．，，．，，设，则，，．面积，又，当时，面积有最大值．29．（2022•海曙区校级模拟）如图，在的内接四边形中，是它的对角线，的中点是的内心．（1）当，重合时，直接写出，的位置关系，数量关系：直接判断四边形的形状．（2）找出所有与线段相等的线段，并说明理由．（3）求，的面积之比．（4）若，设为，的面积为，求出与之间的函数关系式．【答案】（1）四边形是菱形；（2）见解析；（3）3：1；（4）【详解】（1）解：当，重合时，如下图：点是的外心，是的垂直平分线，，，，，，是的内心，，，是、、的角平分线，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是菱形；（2）解：是的内心，，是、的角平分线，，，，，，，，，同理，是的中点，，；（3）解：如图，过点作于，过点作于点，，，，，设，则，，，，，，，，，，，，，，；（4）解：连接、，设为，则，，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，，，，，，，．，，，，．30．（2022•海曙区校级三模）如图，的直径垂直于弦于点，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结交于点，连结，．（1）求证：；（2）若，，①若，求的长；②若，，求与之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）【详解】（1）证明：连接，如图，为的直径，，，，，，，；（2）解：①如图，连接，，，，，，，，，，，，，，，，，，；②四边形为圆的内接四边形，，，，，，与是等高的三角形，，，，与之间的函数关系式为；（3）解：在中，，由（1）得：，，，，，四边形内接于，，，，，，，，，的最大值为：．