2023届吉林省白山市抚松县第一中学高考模拟预测数学试题及答案

抚松一中2023高考预测试卷 数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=（    ）

A． B．C． D．

2．复数满足在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．某比赛决赛阶段由甲，乙，丙，丁四名选手参加，在成绩公布前，A，B，C三人对成绩作出如下预测：A说：乙肯定不是冠军；B说：冠军是丙或丁；C说：甲和丁不是冠军．成绩公布后，发现三人中只有一人预测错误，则冠军得主是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．若命题是命题的充分不必要条件，下列说法正确的是（    ）

A．命题：；命题：恒成立   B．命题：；命题：

C．命题：；命题：恒成立    D．命题：；命题：，使得

6．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（    ）

（参考公式：）

A．1450 B．1490 C．1540 D．1580

7．已知为双曲线的右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于、两点，若在双曲线左支上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，则下列结论正确的是（    ）

A．   B．展开式中各项的系数最大的是  C． D．

10．下列命题是真命题的有(    )

A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面

B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直

C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α

D．平面α经过三点，是平面α的法向量，则u+t＝1

11．下列说法正确的是（    ）

A．设是非零向量，且，则    B．若为复数，则

C．设是非零向量，若，则   D．设为复数，若.，则

12．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（    ）

A． B．3 C． D．4

三、填空题

13．已知随机变量，则的最小值为___________．

14．已知函数满足：①为偶函数；②的图象过点；③对任意的非零实数，，.请写出一个满足上述条件的函数______.

15．琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅．为弘扬中国传统文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节．若“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方法共__________种．（用数字作答）

16．已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足，则三棱锥外接球的表面积为___________.

四、解答题

17．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在中，角的对边分别为，且______．

(1)求角的大小；

(2)边上的中线，求的面积的最大值．

18．已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，且数列的前n项和为，证明：.

19．在圆锥PO中，高，母线，B为底面圆O上异于A的任意一点.

(1)当时，过底面圆心O作所在平面的垂线，垂足为H，求证：；(2)当时，求二面角的余弦值.

20．设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：

作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式

（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；

（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

21．已知椭圆的左、右焦点分别是，，点到直线的距离为，若点在椭圆上，的周长为6．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过的直线与椭圆交于不同的两点，，求的内切圆的半径的最大值．

22．已知函数，（为常数），.

(1)若存在过原点的直线与函数､的图象相切，求实数的值；

(2)当时，使得成立，求的最大值；

(3)若函数的图象与轴有两个不同的交点､，且，求证：.

参考答案：

1．A

【详解】由，得，所以，

因为，且∈[-3，1]，所以，所以B=[-1，8]，所以A∩B=[-1，1]．

故选：A．

2．D

【详解】由在复平面内对应的点为可得，

又，即.

故选：D．

3．D

【详解】.

故选：D

4．D

【详解】若A预测错误，则B、C预测正确，即乙是冠军，则B的预测冠军是丙或丁错误，矛盾；

若B预测错误，则A、C预测正确，即甲乙丁不是冠军，丙是冠军，与B的预测矛盾；

所以C预测错误，则A、B预测正确，即甲和丁有一个是冠军，又B预测冠军是丙或丁正确，故冠军为丁.

故选：D

5．A

【详解】对于A，令，则，

在上单调递增，，则，即命题：；

，，命题是命题的充分不必要条件，A正确；

对于B，由得：或，即命题：或；

或，或，命题是命题的必要不充分条件，B错误；

对于C，当时，令，则，

不恒成立，即，充分性不成立，C错误；

对于D，当时，令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，即不存在，使得；

即，使得，充分性不成立，D错误.

故选：A.

6．C

【详解】由于“三角形数”可以写为，

故第层“三角形数”为，

所以层时，三角锥垛垛球的总个数为：

，

所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为，

故选：C．

7．D

【详解】将代入双曲线的方程可得，可得，

不妨取点、，设点，其中，且，

，，

因为，所以

，因为，则，所以，，

可得，即，

整理可得，因为，解得.故选：D.

8．B

【详解】设圆心角，，，所以，，

所以．

故选：B.

9．AC

【详解】令，得，则A正确．

展开式的通项为，则，故B错误．

令，得，令，得，

则，故C正确，D错误．

故选：AC.

10．ABD

【详解】解：对于A，A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，

则共面，可得A，B，M，N共面，故A正确；

对于B，，故，可得l与m垂直，故B正确；

对于C，，故，可得在α内或l∥α，故C错误；

对于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正确．

故选：ABD．

11．BC

【详解】对选项A：是非零向量，且，则或，错误；

对选项B：设，，，，

，正确；

对选项C：，则，整理得到，正确；

对选项D：取，，满足，，错误；

故选：BC

12．AB

【详解】表示的曲线是双曲线，

表示平面内一点 到定点 的距离与到直线 的距离之比，

根据圆锥曲线的统一定义有 ，，

故选：AB．

13．/

【详解】因为随机变量，且，

所以，则，因为，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.

故答案为：

14．（答案不唯一）

【详解】因为函数满足：①为偶函数；②的图象过点；③对任意的非零实数，，所以满足三个条件.故答案为：（答案不唯一）.

15．

【详解】首先从诗、酒、花、茶中选“两雅”有种选法，

“琴”“棋”相邻用捆绑法看做一个整体，与除“书”与“画”外的“两雅”全排列，有种排法，

再将“书”与“画”插入到刚刚所形成的个空中的个空，有种插法，

按照分步乘法计数原理可得一共有种排法.

故答案为：

16．

【详解】如图所示：取EF的中点O，连接，由正方体的性质可得平面，

又∵，∴，即同理，∴

由直角三角形的性质可得，∴O为的外接球的球心，为外接球的直径，

∵，∴的外接球的半径恒为1，∴的外接球的表面积恒为，

故答案为：

17．(1)(2)

【详解】（1）若选①在中，因为，

故由可得

由正弦定理得，即．

则，又，故．

选②，，∴，∴，∴．

选③由及正弦定理．．

又，所以．

即，因为，，所以．

又，得．

综上所述：选择①②③，都有．

（2）．

又（当且仅当时取等）

的面积的最大值为

18．(1)(2)证明见解析

【详解】（1）设数列的公比为q，由，，成等差数列可得，

故，解得，由可得，

解得，故，即数列的通项公式为.

（2）由（1）可得，

故.

当时，取得最大值，当时，， 故.

19．(1)证明见解析(2)

（1）证明：因为PO为圆锥的高，所以.又，所以平面POA.

因为平面POA，所以.因为平面PAB，又平面PAB，所以，

又因为，所以平面OHB，所以

（2）

如图，以O原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，

得，所以.

设平面PAB的一个法向量为，则.则可取.

设平面POB的一个法向量为，则，

则可取.所以.

故所求二面角的余弦值为.

20．（1），；y关于的回归方程；（2）随机变量的分布列见解析，数学期望.

【详解】解：（1）令，则，根据已知数据表得到如下表：

，，

通过上表计算可得：，因为回归直线过点，

所以，故y关于的回归方程；

（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，

；；；；

所以随机变量的分布列为：

随机变量的期望值.

21．(1)

(2)

（2）由内切圆半径公式可知当三角形面积最大时，半径最大，结合三角形面积的求法，以及基本不等式可得面积的最大值与半径的最大值.

(1)

解：由题设知 ①，又 ②，由①、②得，，所以，所以椭圆的方程是；

(2)

解：设，，不妨设，，设的内切圆半径为，则的周长是，，因此最大，就最大，而，

由题设知直线的斜率不为，可设直线的方程为，代入椭圆方程消得到，

由韦达定理知，，所以，

因此，令，则，，设，

因为，所以在上单调递增，所以，所以，即，，即内切圆半径的最大值为.

22．(1)或;(2);(3)证明见详解.

(1)由，所以，所以函数在原点的切线方程为：，

将该切线方程代入可得：，依据题意可得或

所以或

(2)当时，，当时，所以在单调递增，则由题可知：使得成立等价于所以所以的最大值为

(3)

由题可知：所以两式相减可得：

由，所以

所以由，要证，即证

即令，所以即证明：

令，所以当时，，所以在单调递减

所以所以