2023年北京市东城区中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京市东城区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个几何体中，主视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据国家统计局官网发布的“中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报”显示，我国企业研发投入继续保持两位数增长，年全年研究与试验发展经费支出亿元，比上年增长，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是(    )

 

A. 甲同学平均分高，成绩波动较小 B. 甲同学平均分高，成绩波动较大
C. 乙同学平均分高，成绩波动较小 D. 乙同学平均分高，成绩波动较大

7.  如图，，按下列步骤作图：在边上取一点，以点为圆心、长为半径画弧，交于点，连接；以点为圆心、长为半径画弧，交于点，连接，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，动点在线段上不与点，重合，分别以，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为，线段的长为当点从点移动到点时，随的变化而变化，则表示与之间关系的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若分式的值为，则实数的值为______ ．

10.  分解因式：          ．

11.  如图，已知，用直尺测量中边上的高约为______ 结果保留一位小数．

12.  已知点，在一次函数的图象上，则 ______ 填“””或“”．

13.  在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是，点，，是网格线交点，则的外角的度数等于______
 

14.  抛掷一枚质地均匀的硬币次，抛掷的结果都是正面朝上的概率是______ ．

15.  如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是______米．

16.  一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有到的点数，相对两个面上的点数之和为骰子摆放的初始位置如图所示骰子由初始位置翻滚一次，点数为的面落在号格内；再从号格翻滚一次，点数为的面落在号格内；继续这样翻滚
当骰子翻滚到号格时，朝上一面的点数为______ ；
依次翻滚次到号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．
求这个反比例函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
如图，在平行四边形中，平分．
求证：四边形是菱形；
连接交于点，延长到点，在的内部作射线，使得，过点作于点若，，求的度数及的长．

23.  本小题分
某校开展了“学习二十大”的知识竞赛百分制，七、八年级学生参加了本次活动为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了名学生的成绩，并对数据成绩进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息．
七年级成绩的频数分布直方图如下
数据分成五组：，，，，：

，七年级成绩在的数据如下单位：分：

七、八年级各抽取的名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表：

根据以上信息，回答下列问题：
表中 ______ ， ______ ；
下列推断合理的是______ ；
样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；
若八年级小明同学的成绩是分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．
竞赛成绩分及以上记为优秀，该校七年级有名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．

24.  本小题分
如图，是的直径，点，在上，点为的中点，的切线交的延长线于点，连接，，．
求证：；
若的半径长为，，求和的长．

25.  本小题分
已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．
建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．

乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；

乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．

26.  本小题分
已知抛物线．
求该抛物线的顶点坐标用含的式子表示；
当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出的取值范围；
若，，都在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

27.  本小题分
如图，在中，，，点在边上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．
求证：平分；
连接交于点，过点作，交的延长线于点补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

 

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，将点向左或向右平移个单位长度，再向下或向上平移个单位长度，得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点的倍“对应点”特别地，当与重合时，点为点关于点的中心对称点．
已知点，．
若点的坐标为，画出点，并直接写出点的倍“对应点”的坐标；
若，直线上存在点的倍“对应点”，直接写出的取值范围；
半径为的上有不重合的两点，，若半径为的上存在点的倍“对应点”，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：正方体的主视图是正方形，
故A选项不合题意，
圆柱的主视图是矩形，
故B选项不合题意，
圆锥的主视图是三角形，
故C选项符合题意，
球的主视图是圆，
故D选项不合题意，
故选：．
根据主视图的定义即可直接选出答案．
本题主要考查三视图的概念，要牢记常见的几种几何体的三视图，尤其是圆锥和圆柱的三视图．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示应为，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：观察数轴，可知，，且，
所以的结果为负数，其绝对值为：，
将在数轴上表示出来，如图，

由数轴上点的位置可知，
，
故选：．
根据实数加法法则，借助数轴的直观性解答．
本题考查实数与数轴，解答时涉及异号两数相加的法则理解，灵活运用加法法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
所以，，
所以．
故选：．
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值，然后计算的值．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：乙同学的平均分是：，
甲同学的平均分是：，
因此乙的平均数较高；
，
，
，
乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定；
故选：．
分别求出甲、乙的平均数、方差，比较得出答案．
本题考查平均数、方差的计算方法，从统计图中获取数据，是正确计算的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作法得，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由作法得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，，然后根据三角形外角性质计算出的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，，
则，


，
关于的函数图象是过原点开口向下的抛物线，
故选：．
设，，则，根据阴影部分的面积大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出与的函数解析式，从而判断图象的大致形状．
本题考查动点问题的函数图象，关键是求出函数解析式．
 

9.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
且，
解得：．
故答案为：．
根据分式的值为得出且，再求出即可．
本题考查了分式值为的条件，注意：当分子且分母时，分式的值为．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因数，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
 

11.【答案】 

【解析】解：测量中边上的高约为．
故答案为：．
先确定高是哪一条线段，再测量即可．
本题考查了三角形高线，近似数，解题的关键是正确理解三角形高的定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大，
又，在一次函数的图象上，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合，可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可知，，，
，
是直角三角形，，
，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理得出，，，进而利用勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出，，解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中次抛掷的结果都是正面朝上的结果有种，
次抛掷的结果都是正面朝上的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中次抛掷的结果都是正面朝上的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
答：树的高度长是，
故答案为：．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
 

16.【答案】   

【解析】解骰子的相对两个面上的点数之和为，
点数为的面落在号格内，朝上一面的点数为．
故答案为：；
骰子依次翻滚次到号格，每次翻滚后骰子朝上一面的数都不相同，骰子的相对两个面上的点数之和为，
每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为，
故答案为：．
由骰子的相对两个面上的点数之和为，即可得到答案；
由骰子依次翻滚次到号格，每次翻滚后骰子朝上一面的数都不相同，即可求解．
本题考查正方体相对两个面上的数字，规律型：图形的变化类，关键是明白骰子依次翻滚次到号格，每次翻滚后骰子朝上一面的数都不相同．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式
，
，
，
原式

． 

【解析】直接利用乘法公式化简，再结合整式的混合运算法则计算，把已知整体代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

20.【答案】方法一：
证明：如图，过点作，交的延长线于点，

点是的边的中点，
，，，
≌，
，，
点是的边的中点，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
且 ．
方法二
证明：如图，延长到，使，连接、、，

点、分别是的边、的中点，
，，
又，
≌，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
且 ． 

【解析】方法一，先证明≌，推出，，得到四边形为平行四边形，得到，，即可得证．
方法二，证明≌，推出，，得到四边形为平行四边形，得到，，即可得证．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形为平行四边形．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
这个反比例函数的解析式为；
把点代入得，，
，
当时，对于的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，则的取值范围是． 

【解析】把点代入，利用待定系数法即可求得；
把点代入求得的值，利用图象即可求得的取值范围．
本题考查了待定系数法解反比例函数解析式及函数和不等式的关系，数形结合是解题关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
▱是菱形；
解：由可知，四边形是菱形，
，，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】由平行线的性质和角平分线的定义得，则，然后由菱形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再证，然后由角平分线的性质得，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：把七年级个学生的成绩从小到大排列，排在第和第个数分别是，，故中位数；
七年级个学生的成绩中出现次数最多的是，故众数．
故答案为：；；
由题意可知，样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小，故说法正确；
若八年级小明同学的成绩是分，大于八年级成绩的中位数，所以可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩，故说法正确；
故答案为：；
名，
答：估计七年级成绩优秀的学生人数大约为名．
分别根据中位数和众数的定义解答即可；
分别根据方差和中位数的意义解答即可；
用乘样本中达到优秀学生所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、众数、中位数、样本估计总体，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：点为的中点，
，
为的切线，
，
，
；
解：交于点，如图，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即的长为，的长为． 

【解析】先根据垂径定理得到，再根据切线的性质得到，所以，然后根据平行线的性质得到结论；
交于点，如图，在中利用余弦的定义求出，则利用勾股定理可计算出，再在中利用余弦的定义求出，则利用勾股定理计算出，所以，接着根据垂径定理，然后利用勾股定理可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和解直角三角形．
 

25.【答案】解：由表中数据可知，乒乓球竖直高度的最大值为，，；
与的函数关系式为，
把代入函数解析式得：，
解得，
与的函数关系式为；
令，则，
解得或舍去，
球第一次落在球桌面上的点为，
把代入得：
，
解得舍去或，
乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，
当时，，
解得或舍去，
，
乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 

【解析】由表中数据可知，乒乓球竖直高度的最大值，并得出抛物线的顶点坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
先令解析式中的，解方程求出的值，即为球第一次落地点的坐标，然后把坐标代入求出，再令，求出的值与桌面总长比较即可．
本题考查二次函数的应用及一元二次方程的解法，关键是求出函数解析式．
 

26.【答案】解：抛物线，
抛物线的顶点坐标为；
当时，如图，

当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为为直线，
点关于直线的对称点为，
点，，，
；
存在实数，使得恒成立，
，抛物线的顶点坐标为，
抛物线开口向下，
，
如图，当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，

时，，
当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
综上，存在实数，使得恒成立，的取值范围为． 

【解析】将抛物线化为顶点式，即可求解；
当时，结合二次函数的图象以及抛物线的对称性即可求解；
由可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线，结合图象求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象以及抛物线的对称性，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

27.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
平分；
解：，
证明：如图，在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由旋转得可得，然后“”可证≌，可得结论；
在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接，由“”可证≌，≌，可得，，，由平行线的性质及等量代换得，，即可得结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
 

28.【答案】解：如图，

，，
点向下平移个单位长度得到点，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
在中，当时，，即，
，，
，
点关于直线对称得到点，
，，
，
；

如图所示，假设在第一象限，过点作轴于，分别过点作轴，轴，、交于，连接，连接，交于，

由平移的性质可知，，，
，，
∽，
，
，
∽，
；
如图所示，当，时，则，，
，
由对称性可知，
点在以为圆心，半径为的圆上运动，
当直线与有交点时，则直线上一定存在点的倍”对应点”，
如图所示，当且直线与相切于点时，设此时直线与轴交于，

，
又，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，即；
同理可求出当且直线与相切时，；
综上所述，当时直线上一定存在点的倍”对应点”；

解：如图所示，连接，交于，

由可得点在以为圆心，的长为半径的圆上运动，且．
要使半径为的存在点的倍”对应点”，
半径为的一定与有交点，
如图所示，当半径为的与外切时，则，
，，
；
如图所示，

当半径为的与内切时，同理可得，，
，
综上所述，当时，半径为的上存在点的倍“对应点”． 

【解析】由新定义，将点向左平移个单位，向下平移个单位得到点，再在坐标系中画出，再根据对称求出点的坐标即可；
如图所示，假设在第一象限，过点作轴于，分别过点作轴，轴，、交于，连接，连接，交于，证明∽，由相似三角形的性质得出，再证明∽，由相似三角形的性质得出；如图所示，当，时，由对称性可知，则点在以为圆心，半径为的圆上运动，则当直线与有交点时，则直线上一定存在点的倍”对应点”，据此求解即可得出答案；
由可得点在以为圆心，的长为半径的圆上运动，且，则要使半径为的存在点的倍“对应点”，则半径为的一定与有交点，如图所示，当半径为的与外切时，如图所示，当半径为的与内切时，求出两种情况下的值即可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了新定义倍“对应点”，待定系数法，切线的性质，圆与圆的位置关系，坐标与图形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解新定义得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动是解题的关键．