黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023届高三第四次模拟考试数学试题

哈师大附中2023年高三第四次模拟考试

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对方题目的答案标号涂墨．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知是虚数单位，复数满足，则（    ）

A．的实部为3  B．的虚部为1

C．  D．在复平面对应的点在第二象限

3．第二十二届哈尔滨国际经济贸易谈洽会（简称“哈洽会”）将于2023年6月15日至19日在哈尔滨国际会展体育中心举办，搭建展示和对接的平台，进一步激活发展潜能，推动“一带一路”建设．本届“哈洽会”线下展览总面积共计6万平方米，拟设中俄地方经贸合作主题展区、港澳台及国际展区、省区市合作展区、产业合作展区、龙江振兴展区、机械设备展区六大展区、展区布局如图所示，则产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概俉为（    ）

A． B． C． D．

4．下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（    ）

A． B．2 C． D．1

6．如图，四棱锥中，底面为正方形，是正二角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知锐角，满足，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

8．函数，的是定义域为，的导函数定义域为，若，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．则下列结论正确的是（    ）

A．

B．身高落在内的人数为50人

C．若从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取17人．则身高在的学生选取的人数为4人

D．若将学生身高由高到低排序，前15%的学生身高为级，则身高为142厘米的学生身高肯定不是级

10．已知曲线：为焦点在轴上的椭圆，则（    ）

A．  B．的离心率为

C．的短轴长的取值范围是 D．的值越小，的焦距越大

11．如图，矩形中，、分别为、的中点，且，现将沿问上翻折，使点移到点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）

A．存在点，使得

B．存在点，使得

C．三棱锥的体积最大值为

D．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．的展开式中次系数是______．

14．已知直线与抛物线（）交于、两点，且，于点，点的坐标为，则______．

15．有理数都可以表示成（，，且，与互质）的形式，进而有理数集可表示为．任何有理数，都可以化为有限小数或无限循环小数．反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数；那么无限循环小数表示成的形式为______．

16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤第一次变成1（简称为8步“雹程”）．当时，需要______步雹程；若经过8步“雹程”第一次变成1，则所有可能的取值集合______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知数列的首项，且满足．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若，求满足条件的最大整数．

18．（本小题满分12分）

三棱台中，平面，，且，，是的中点．

（1）求三角形重心到直线的距离；

（2）求二而角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

（1）若，求函数在区间上的最大值；

（2）若函数在区间上没有零点，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）

生产某种特殊零件的废品率为（），在合格品中，优等品的概率为0.5，若20个此特殊零件中恰有4件废品的概率为，设的最大值点为．

（1）求；

（2）若工厂生产该零件的废品率为．

（ⅰ）从生产的产品中随机抽取个零件，设其中优等品的个数为，记，，已知时优等品概率最大，求的最小值；

（ⅱ）已知每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．

21．（本小题满分12分）

已知函数和有相同的最大值．

（1）求；

（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．

22．（本小题满分12分）

已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点．

（1）求的方程；

（2）设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值．

哈师大附中2023年高三第四次模拟考试

数学答案

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13．288 14． 15． 16．12、

四、解答题

17．（10分）

解：（1），则

所以，是以为首项，为公比的等比数列．

（2）由（1）可得

又

设，则在单调递增

所以，满足条件的最大整数的值为99．

18．（12分）

解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，则

，，，，，

过点作，设，则

得，，．

（2），，

设平面的法向量，则

设平面的法向量，则

所以，

所以，二面角的余弦值为．

19．（12分）

解：（1）函数向右平移，得

函数图象所有点的横坐标变为原来的倍，得到

当时，

，在递减，递增，则

所以，的最大值为．

（2）令．则

在无零点，则或

所以，或

当，时，的取值范围为．

20．（12分）

解：（1）由题意得：

（）

所以，在递增，在递减

当时，取最大值．

（2）设优等品的个数为，则

，，先增后减

若时，有最大值，则，

所以的最小值为12．

（3）设工厂生产一个零件获利元，零件的修复费用为元

则的可能取值为：70，，

，，

，

所以，一个零件需要修复费用为30元．

21．（12分）

解：（1）依题意：

设、，，

直线：，即：

（记，）代入中得

所以，

又因为直线：、直线：联立得

即或（舍）

所以

所以，点轨迹为，以为圆心，2为半径的圆上，所以，

22．（12分）

解析：（1）

当时，在递增，在递减，所以

当时，在递增，在递减，所以无最大值，不合题意

当时，在递增，在递减，所以

当时，在递减，在递增，所以无最大值，不合题意

所以

（2）由（1）知，，由于时，，时，，因此只有才可能满足题意，记，且，由（1）得在上单调递增，在单调递减，且，，所以存在，使得，设，则，设，则，时，，递减，时，，递增，所以，所以，是增函数．时，，，又，所以存在，使得，即此时与有两个交点，其中一个交点在内，另一个交点在内，同理与也有两个交点，其中一个交点在内，另一个交点在内，若与和共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线和的公共点，记其横坐标为，令，则，，记与，的三个交点的横坐标从左到右依次为，，，且满足，，且，即，又，，且，，，，且在和上分别单调，所以，，即，所以，为，的等比中项，所以从左到右的三个交点的横坐标，，成等比数列．