高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式课堂检测

人教A版（2019）选择性必修第三册《7.1 条件概率与全概率公式》提升训练

一 、单选题（本大题共15小题，共75分）

1.（5分）已知复数满足，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分）在二项式的展开式中，的系数为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的是附：随机变量服从正态分布，则

A. 该校学生成绩的均值为 B. 该校学生成绩的标准差为
C. 该校学生成绩的标准差为 D. 该校学生成绩及格率超过

4.（5分）下列说法错误的是

A. 在回归直线方程中，与具有负线性相关关系
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于
C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位
D. 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越小

5.（5分）若定义在上的函数满足，，则不等式其中为自然对数的底数的解集为

A.  B.
C.  D.

6.（5分）电视台在电视剧开播前连续播放个不同的广告，其中个商业广告个公益广告，现要求个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有

A.  B.  C.  D.

7.（5分）若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是

A.  B.  C.  D.

8.（5分）函数的图象大致为

A.  B.
C.  D.

9.（5分）若事件与相互独立，且，则的值等于

A.  B.  C.  D.

10.（5分）已知函数在处取得极小值，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

11.（5分）某校开设类课门，类课门，一位同学从中共选门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有  
 

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

12.（5分）从一个装有大小和质地相同的个白球和个黑球的袋子中，不放回地抽取两次，每次取一球，若第一次已经取到了白球，则第二次又取到白球的概率为

A.  B.  C.  D.

13.（5分）某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：

若根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则的值等于

A.  B.  C.  D.

14.（5分）某上市股票在天内每股的交易价格元与时间天所组成的有序数对，点落在图中的两条线段上；该股票在天内的日交易量万股与时间天的部分数据如下表所示，且与满足一次函数关系，那么在这天中第几天日交易额最大

A.  B.  C.  D.

15.（5分）已知，，，则

A、

B、

C、

D、

A.  B.  C.  D.

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

16.（5分）已知复数为虚数单位，若，求复数的共轭复数为 ______.

17.（5分）某学校有男生人，女生人．为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为小时，方差为，女生每天睡眠时间为小时，方差为若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 ______.

18.（5分）展开式中只有第六项二项式系数最大，则______，展开式中的常数项是______．

19.（5分）若直线与曲线相切，则______．

20.（5分）从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数互质的概率为__________.

三 、解答题（本大题共3小题，共36分）

21.（12分）已知函数，为自然对数的底数． 
Ⅰ求的值域； 
Ⅱ设，若在区间内有零点，求实数的取值范围．

22.（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境检测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度单位：，得下表：

估计事件“该市一天空气中不超过，且浓度不超过”的概率； 
根据所给数据，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为该市一天中的浓度与浓度有关？

附表：

23.（12分）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克立方米以下空气质量为一级；在微克立方米微克立方米之间空气质量为二级；在微克立方米以上空气质量为超标． 
某市环保局从市区年全年每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示十位为茎，个位为叶 
Ⅰ从这天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率； 
Ⅱ从这天的数据中任取天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列； 
Ⅲ以这天的的日均值来估计一年的空气质量情况，一年按天来计算，则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．
 

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：复数满足， 
， 
， 
 
故选： 
推导出，利用复数的运算法则求出，由此能求出 
此题主要考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】D;

【解析】解：由二项式的展开式的通项公式为， 
令， 
解得， 
即的系数为， 
故选： 
由二项式定理，结合二项式展开式通项公式求解即可． 
此题主要考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题．
 

3.【答案】D;

【解析】解：某校学生的成绩服从正态分布，则，，，故，，都错误； 
 
故选： 
根据正态分布的定义，确定均值与方差，根据正态分布曲线的对称性计算及格概率即可． 
此题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

4.【答案】A;

【解析】解：对：由，可得在回归直线方程中，与具有负线性相关关系，故正确； 
对：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大，故错误； 
对：在回归直线方程中，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均减小个单位，故错误； 
对：对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越小，故错误． 
故选： 
对：求得与具有负线性相关关系判断；利用相关系数的性质判断；由回归系数与预报变量间的关系判断；利用回归直线的相关的定义判断 
此题主要考查线性回归方程和相关系数、指数的变化与效果的关系，属于基础题．
 

5.【答案】C;

【解析】解：设，， 
则， 
， 
， 
， 
在定义域上单调递增， 
， 
， 
又， 
， 
， 
故选： 
构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解． 
此题主要考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解答该题的关键．
 

6.【答案】A;

【解析】解：先把个商业广告排好顺序，共有种方法，再把个公益广告插入个空包括两头中， 
根据分布计数原理，共有 种方法， 
故选： 
先把个商业广告排好顺序，再用插空法求得个公益广告不能连续播放的方法数． 
此题主要考查排列组合的应用，分布计数原理，不相邻问题采用插空法，属于中档题．
 

7.【答案】B;

【解析】解：若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，故， 
则展开式的通项公式为，令，求得， 
可得展开式中的常数项为 ， 
故选：． 
由题意利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中的常数项． 
此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
 

8.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查了函数的奇偶性、指数函数及其性质、函数图象和单调性，考查推理能力和计算能力，属于基础题. 
根据已知及函数的奇偶性，指数函数及其性质，函数图象的计算，可知函数的图象. 
 
解：的定义域为，因为， 
所以函数为奇函数， 
故排除， 
又因为，函数在上单调递减． 
故选 
 

 

9.【答案】B;

【解析】解： 
 
 
 
故选 
此题主要考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得，将代入即可得到答案． 
相互独立事件的概率计算公式： 
， 
 

10.【答案】D;

【解析】解：，函数在处取得极小值， 
则，即， 
所以， 
当且仅当时，等号成立． 
故选： 
求出导函数，通过函数的极小值推出，的关系，然后利用基本不等式求解即可． 
此题主要考查函数的导数的应用，极值的求法以及基本不等式的应用，是中档题．
 

11.【答案】C;

【解析】解：可分以下种情况：①类选修课选门，类选修课选门，有种不同的选法；  
②类选修课选门，类选修课选门，有种不同的选法．  
根据分类计数原理知不同的选法共有种．  
故选：． 
两类课程中各至少选一门，包含两种情况：类选修课选门，类选修课选门；类选修课选门，类选修课选门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．  
本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：．
 

12.【答案】D;

【解析】解：设第一次取到白球记为事件，第二次取到白球记为事件，则 
故选： 
根据条件概率公式计算即可． 
此题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

13.【答案】B;

【解析】解：由标准数据，计算， 
； 
由点 在线性回归方程上， 
， 
则， 
解得． 
故选：． 
求出，将其代入线性回归方程中，即可得出的值． 
此题主要考查了样本中心点在线性回归方程上的应用问题，是基础题．
 

14.【答案】B;

【解析】解：当时，设， 
则由题意可知其图象过点； 
所以，解得，； 
所以； 
同理可得，当时，； 
综上可得，； 
由题意可设，把，代入可得， 
，解得，； 
所以； 
所以； 
当时，时，万元， 
当时，时，万元， 
综上可得，第日的交易额最大为万元． 
故选：． 
根据图象可知此函数为分段函数，在和两个区间利用待定系数法分别求出一次函数关系式联立可得的解析式；因为与成一次函数关系，根据表格中的数据，取出两组即可确定出的解析式；根据股票日交易额交易量每股较易价格可知，可得的解析式，分别在各段上利用二次函数求最值的方法求出即可． 
考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，理解分段函数的能力，属于中档题．
 

15.【答案】null;

【解析】解：设，则恒成立， 
所以在上单调递增， 
所以，所以，即，所以， 
设，则， 
当时，，所以在上单调递增， 
所以，所以，即，所以， 
综上， 
故选： 
设，，利用导数可证在上单调递增，在上单调递增，再代入运算，得解． 
此题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】2-i;

【解析】解：，， 
，， 
复数的共轭复数为 
故答案为： 
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 
此题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

17.【答案】0.76;

【解析】解：由题意可知，样本总体的均值为小时， 
则总体方差为 
故答案为： 
根据已知条件，结合样本均值和方差的公式，即可求解． 
此题主要考查样本均值和方差的求解，考查计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】10;180;

【解析】解：展开式中只有第六项二项式系数最大，． 
的通项公式：，解得． 
常数项为：． 
故答案为：，． 
由展开式中只有第六项二项式系数最大，可得再利用的通项公式即可得出． 
本题参考二项式定理的展开式及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】;

【解析】 
此题主要考查导数的几何意义，设出切点和运用方程思想是解答该题的关键，属于基础题． 
设切点为，求出曲线对应的函数的导函数，可得切线的斜率，解，，的方程，即可得到所求切线的斜率． 
 
解：设切点为， 
的导数为， 
可得切线的斜率， 
且，， 
解得，， 
故答案为． 
 

 

20.【答案】;

【解析】 
此题主要考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题. 
根据题意总的取法有种，不互质的数对情况有：两个偶数，和即可. 
解：由题可知，总的取法有种，不互质的数对情况有：四个偶数，和 
所以两个数互质的概率为 
故答案为： 

 

21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=， 
当f′（x）＞0时，x＞1；当f′（x）＜0，x＜1且x≠0， 
所以f（x）在区间（-∞，0），（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增， 
又因为f（1）=e-1， 
由图可知：f（x）的值域为（-∞，-1）∪[e-1，+∞）． 
（Ⅱ）h（x）=-a+（a+1-e）x-1， 
h′（x）=-2ax+（a+1-e），h″（x）=-2a， 
因为x∈（0，1），所以∈（1，e）． 
①当2a≤1，即a≤时，h″（x）＞0，所以h′（x）在（0，1）单调递增， 
又因为h′（0）=a+2-e＜0，h′（1）=1-a＞0， 
所以存在∈（0，1），使得h′（）=0， 
故h（x）在（0，）单调递减，在（，1）单调递增， 
又因为h（0）=0，h（1）=0， 
所以x∈（0，1）时，h（x）＜0， 
故h（x）在（0，1）无零点． 
②当2a≥e，即a≥时，h″（x）＜0，所以h′（x）在（0，1）单调递减， 
又因为h′（0）=a+2-e＞0，h′（1）=1-a＜0， 
所以存在∈（0，1），使得h′（）=0， 
所以h（x）在区间（0，）单调递增，（，1）单调递减， 
又因为h（0）=0，h（1）=0， 
所以当x∈（0，1）时，h（x）＞0， 
故h（x）在区间（0，1）内无零点． 
③当1＜2a＜e，即＜a＜时， 
令h″（x）＞0，解得x＞ln2a，令h″（x）＜0，解得x＜ln2a， 
所以h′（x）在区间（0，ln2a）单调递减，（ln2a，1）单调递增， 
所以h′（x）min=h′（ln2a）=3a-2aln2a+1-e， 
令t（a）=3a-2aln2a+1-e，a∈（，）， 
则t′（a）=1-2ln2a， 
当t′（a）＞0时，解得a＜； 
当t′（a）＜0时，解得a＞， 
所以t（x）在区间（，）单调递增，（，）单调递减， 
所以t（x）max=t（）=+1-e＜0， 
所以h′（x）min=h′（ln2a）＜0， 
由图可知，只有满足， 
即e-2＜a＜1，h（x）在（0，1）有零点． 
综上所述，e-2＜a＜1．;
 

【解析】 
Ⅰ求导，分析单调性，进而得出极值，画出函数图象草图，进而得出函数的值域．  
Ⅱ根据题意可得，二次求导后得，分三种情况当，当，当，分析的正负，的单调性，结合，分析的正负，进而得的单调性，再确定函数有零点时，实数的取值范围． 
该题考查导数的综合应用，函数的值域，零点，解题中注意数形结合，分类讨论思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：（1）根据表中的数据可知，该市100天空气中LM2.5不超过75， 
且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64， 
∴事件“该市一天空气中PM2.5不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率为： 
P==0.64． 
（2）2×2列联表如下：

∴K2=≈7.484， 
∵7.484＞3.841， 
∴有95%的把握认为该市一天中的PM2.5浓度与SO2浓度有关．;

【解析】 
根据表中的数据用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中不超过，且浓度不超过”的概率； 
根据题意完成列联表，然后利用公式计算，再利用临界值表可得答案． 
此题主要考查古典概型、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

23.【答案】解：（Ⅰ）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件A， 
则P（A）==； 
（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3， 
ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为： 
P（ξ=k）=，其中k=0，1，2，3；

…（8分） 
（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==， 
一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B（360，）； 
∴Eη=360×=120（天）， 
∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．;

【解析】 
Ⅰ用频率估计概率，求出“从这天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”的概率；  
Ⅱ依据条件，服从超几何分布，的可能值为，，，，  
且，写出分布列；  
Ⅲ依题意知一年中每天空气质量达到一级的概率，  
一年中空气质量达到一级的天数，，计算即可． 
此题主要考查了等可能事件概率的求法，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．