数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件第2课时测试题

第一章　1.4　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．“x，y∈Q”是“xy∈Q”的(　A　)

A．充分不必要条件

B． 必要不充分条件

C．充要条件

D． 既不充分也不必要条件

[解析]　若x，y∈Q，则xy∈Q，若xy∈Q，当x＝y＝时，x，y∉Q，

所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分不必要条件．故选A．

2．已知x∈R，则{x|x<－1}是的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　{x|x<－1}⇒，反之不成立，

所以“{x|x<－1}”是“”的充分不必要条件．故选A．

3．下列命题中是真命题的是(　A　)

①“x>3”是“x>4”的必要条件；

②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；

③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．

A．①　　　 B．①②

C．①③　　 D．②③

[解析]　x>4⇒x>3，故①是真命题；

x＝1⇒x2＝1，x2＝1x＝1，故②是假命题；

a＝0⇒ab＝0，ab＝0a＝0，故③是假命题．

4．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　C　)

A．a≥4　　 B．a≤4

C．a≥5　　 D．a≤5

[解析]　命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．

二、填空题

5．下列说法正确的是__②④__.

①x2≠1是x≠1的必要条件；

②x>5是x>4的充分不必要条件；

③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；

④x2<4是x<2的充分不必要条件．

[解析]　由x2≠1⇒x≠1，x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故①不正确．②正确．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，则③不正确．④正确．

6．已知p：x<8，q：x<a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围为__a<8__.

[解析]　因为p：x<8，q：x<a，且q是p的充分而不必要条件，所以a<8.

三、解答题

7．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x<1}，B＝{x|2a<x<a＋3}．

(1)若a＝－，求A∪(∁UB)．

(2)p：x∈A，q：x∈B.若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

[解析]　(1)因为a＝－，

所以B＝，

因此∁UB＝{x|x≥2.5或x≤－1}，

而A＝{x|－2≤x<1}，

所以A∪(∁UB)＝{x|x≥2.5或x<1}．

(2)因为p是q的充分不必要条件，

所以AB，因此有：

⇒－2≤a<－1，

故a的取值范围为{a|－2≤a<－1}．

B　组·素养提升

一、选择题

1．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(　C　)

A．0<a≤1　　 B．a<1

C．a≤1　　 D．0<a≤1或a<0

[解析]　解法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则解得a<0；若方程两根均负，则解得0<a≤1.综上所述，充要条件是a≤1.

解法二(排除法)：当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B．故选C．

2．(多选题)(2021·辽宁丹东凤城高一联考)不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为(　AB　)

A．－4≤x≤－1

B．1≤x≤4

C．－4≤x≤－1或1≤x≤4

D．－4≤x≤4

[解析]　由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1或1≤x≤4，∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B．故选AB．

二、填空题

3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

[解析]　A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．

4．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则实数a的取值为__－或__.

[解析]　p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，即x＝－.由题意知pq，q⇒p，所以有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.综上可知，a＝－或.

三、解答题

5．(2021·山东青岛高一联考)已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R.

(1)当a＝2时，求A∩B，(∁UA)∩(∁UB)；

(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∩B＝{x|1≤x≤4}；∁UA＝{x|x<1或x>7}，∁UB＝{x|x<－2或x>4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<－2或x>7}．

(2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，∴AB.

①若A＝∅，则a－1>2a＋3，解得a<－4；

②若A≠∅，由AB，得

且a－1≥－2与2a＋3≤4不同时取等号；

解得－1≤a≤.

综上：a的取值范围是.