高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词第1课时当堂检测题

第一章　1.5　第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列存在量词的命题中，是假命题的是(　C　)

A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0

B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除

C．有的三角形没有外接圆

D．∃x∈R，＝x

[解析]　任意三角形都存在外接圆．

2．下列四个命题：

①一切实数均有相反数；②∃a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形．

其中，真命题的个数为(　C　)

A．1　　 B．2

C．3　　 D．4

[解析]　对于③，梯形的对角线不一定相等．如直角梯形的对角线显然不相等，故为假命题，其余均为真命题．

3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　B　)

A．直角三角形的内角有一个是90°

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数，使>2

[解析]　A是全称量词命题；B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题．故选B．

4．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　D　)

A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

[解析]　全称量词命题含有量词“∀”，故排除A，B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．故选D．

二、填空题

5．给出下列四个命题：①∀x∈R，x2＋3>0；②∀x∈N，x4≥1；③∃x∈Z，x3<1；④∃x∈Q，x2＝3.

其中是真命题的是__①③__(把所有真命题的序号都填上)．

[解析]　①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3>0，即x2＋3>0，所以命题“∀x∈R，x2＋3>0”是真命题；②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，是假命题；③由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立，是真命题；④由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于3，是假命题．

6．下列存在量词命题是真命题的是__①③④__.(填序号)

①有些不相似的三角形面积相等；

②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；

③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；

④有一个实数的倒数是它本身．

[解析]　①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中，对任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0，所以不存在实数x0，使x＋x0＝1<0，故②为假命题；③中，当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中，如1的倒数是它本身，为真命题，故填①③④.

三、解答题

7．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．

(1)存在两个正实数x，y，使x2＋y2＝0.

(2)所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形．

(3)能被5整除的整数末位数是0.

[解析]　(1)是存在量词命题，因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故此命题是假命题．

(2)是全称量词命题，有两个角是45°的三角形，第三个角必是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命题是真命题．

(3)是全称量词命题，因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是(　D　)

A．{a|a≥－3}　　 B．{a|a>－3}

C．{a|a≤－3}　　 D．{a|a<－3}

[解析]　因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a<－3.故选D．

2．(多选题)给出下列命题，其中真命题有(　AB　)

A．存在x<0，使|x|>x

B．对于一切x∈Z，都有|x|∈N

C．存在x<0，使|x|≤x

D．已知a＝2n，b＝3n，则存在n∈N*，使得a＝b

[解析]　易知选项A、B为真命题；C中命题当x<0时，|x|>x，所以C为假命题；D中，“存在n∈N*，使得a＝b”的否定是“对于任意的n∈N*，都有a≠b”，由于a－b＝2n－3n＝－n，所以对于任意的n∈N*，都有a<b，即a≠b，故D为假命题．

二、填空题

3．若存在实数x∈{x|x≤1}，使不等式4x＋3≥m能够成立，则实数m的取值范围是__m≤7__.

[解析]　要使不等式4x＋3≥m能够成立，只需要4×1＋3≥m，即m≤7.

4．已知命题p：∀x∈，－2x＋a≥0，命题q：x2＋x＋2a－1＝0有实数根，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围是__a≥1__.

[解析]　若p是真命题，则－2×＋a≥0，即a≥1.

若q为假命题，则a>，故a≥1.

三、解答题

5．若∀x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.

(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}．