新教材2023年高中数学第1章集合与常用逻辑用语综合测试新人教A版必修第一册

这是一份新教材2023年高中数学第1章集合与常用逻辑用语综合测试新人教A版必修第一册，共7页。
第一章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A＝{1，2，3}，B＝{x|1<x<5}，则(　C　)A．A∈B　　　　 B. A⊆BC．A∩B＝{2，3}　　　　 D. A∩B＝{x|1<x≤3}[解析]　根据集合与元素的概念可得A选项错误；∵1∉B，所以A⊆B不成立，B选项错误；根据集合间的运算可得A∩B＝{2，3}，所以C选项正确，D选项错误；故选C.2．命题“∀x>0，x2－2x＋1>0”的否定是(　A　)A．∃x>0，x2－2x＋1≤0B．∀x>0，x2－2x＋1≤0C．∃x≤0，x2－2x＋1≤0D．∀x≤0，x2－2x＋1≤0[解析]　含有量词的命题的否定，一改量词将“∀”改为“∃”，二否结论将“>”改为“≤”，条件不变，故选A.3．设a∈R，则a>3是|a|>3的(　D　)A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件[解析]　由“a>3”能推出“|a|>3”，充分性成立；反之由|a|>3无法推出a>3，必要性不成立．故选D.4．已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为(　D　)A．或－　　　　 B．－或C．或－或0　　　　 D．－或或0[解析]　A＝{－3,2}，∵B⊆A，∴－3∈B或2∈B或B＝∅；∴－3a－1＝0，或2a－1＝0或a＝0.∴a＝－或或0.故选D.5．已知m，n∈R，则“－1＝0”是“m－n＝0”成立的(　A　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　由－1＝0得＝1，得m＝n，m－n＝0，即充分性成立；当m＝n＝0时，满足m－n＝0，但－1＝0无意义，即必要性不成立，即“－1＝0”是“m－n＝0”成立的充分不必要条件，故选A.6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(　C　)A．9　　　　 B．8C．7　　　　 D．6[解析]　x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝－3.所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2,5,6}共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.7．命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)>n”的否定形式是(　C　)A．∀n∈N，f(n)∉N且f(n)≤nB．∀n∈N，f(n)∉N且f(n)>nC．∃n∈N，f(n)∉N或f(n)≤nD．∃n∈N，f(n)∉N或f(n)>n[解析]　命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)>n”的否定形式是∃n∈N，f(n)∉N或f(n)≤n，故选C.8．已知全集U＝R，M＝{x|x<－1}，N＝{x|x(x＋2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是(　A　)A．{x|－1≤x<0}B．{x|－1<x<0}C．{x|－2<x<－1}D．{x|x<－1}[解析]　题图中阴影部分为N∩(∁UM)，因为M＝{x|x<－1}，所以∁UM＝{x|x≥－1}，又N＝{x|x(x＋2)<0}＝{x|－2<x<0}，所以N∩(∁UM)＝{x|－1≤x<0}．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．下列命题中，是全称量词命题的有(　BC　)A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立[解析]　A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题．故选BC.10．以下满足{0，2，4}⊆A{0，1，2，3，4}的集合A有(　AC　)A．{0，2，4}　　　　 B. {0，1，3，4}C. {0，1，2，4}　　　　 D. {0，1，2，3，4}[解析]　由题意可知，集合A包含集合{0，2，4}，同时又是集合{0，1，2，3，4}的真子集，则所有符合条件的集合A为{0，2，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}．选项BD均不符合要求，排除．故选AC.11．下列命题中真命题的是(　AB　)A．“a>b>0”是“a2>b2”的充分条件B．“a>b”是“3a>3b”的充要条件C．“a>b”是“|a|>|b|”的充分条件D．“a>b”是“ac2≤bc2”的必要条件[解析]　当a>b>0时a2>b2，A正确；B正确；对于C，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但|a|<|b|，故C不正确；对于D，“a>b”与“ac2≤bc2”没有关系，不能相互推出，因此不正确．故选AB.12．设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　BCD　)A．A∪B＝B　　　　 B．(∁UA)∩B＝∅C．(∁UA)⊆(∁UB)　　　　 D．A∪(∁UB)＝U[解析]　由Venn图可知，B，C，D都是充要条件，故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{1，3，5，7，9}，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为__3__.[解析]　由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为∁A(A∩B)．又A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，∴A∩B＝{1，3，5}，∴∁A(A∩B)＝{0，2，4}，即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3，故答案为3.14．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－3x＋a＝0}，若A∩B≠∅，则a的值为__3或6或9__.[解析]　由题意可知B＝.若A∩B≠∅，则＝1或＝2或＝3，得a＝3或6或9.15．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}，若A中只含有一个元素，则a的值为__0或__；若A的真子集个数是3，则a的范围是____.[解析]　集合A中只含一个元素．∴a＝0或，解得a＝0或a＝；∵A的真子集个数是3个，∴ax2－3x＋1＝0有两个不等的实根，∴解得a<0或0<a<.∴a的取值范围是.16．在下列所示电路图中，下列说法正确的是__(1)(2)(3)__(填序号)．(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．[解析]　(1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件，因此正确；(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此错误．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(2)末位是0的实数能被2整除；(3)∃x>1，x2－2>0；(4)存在实数没有算术平方根；(5)奇数的平方还是奇数．[解析]　(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．(3)命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题，真命题．(4)命题“存在实数没有算术平方根”，是存在量词命题，真命题．(5)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．18．(本小题满分12分)已知集合M＝{x|x2－12x＋20<0，x∈R}，N＝{x||x－1|<m，x∈R}．(1)当m＝2时，求M∩N；(2)在①充分条件，②必要条件　这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的m存在，求出m的取值范围；若问题中的m不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数m，使得“x∈M”是“x∈N”的__________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解析]　M＝{x|x2－12x＋20<0，x∈R}＝{x|2<x<10}，当m≤0时，N＝∅；当m>0时，N＝{x|1－m<x<1＋m}．(1)当m＝2时，N＝{x|－1<x<3}，故M∩N＝{x|2<x<3}．(2)选择①充分条件，则有M⊆N，则m>0，且解得m≥9，在正实数m，使得“x∈M”是“x∈N”的充分条件，m的取值范围为{m|m≥9}．选择②必要条件，则有N⊆M，m>0时，不成立，所以不存在正实数m，使得“x∈M”是“x∈N”的必要条件．19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|－1<x<4}，B＝，C＝{x|1－2a<x<2a}．(1)若C＝∅，求实数a的取值范围；(2)若C≠∅且C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．[解析]　(1)因为C＝{x|1－2a<x<2a}＝∅，所以1－2a≥2a，所以a≤，即实数a的取值范围是.(2)因为C＝{x|1－2a<x<2a}≠∅，所以1－2a<2a，即a>.因为A＝{x|－1<x<4}，B＝，所以A∩B＝，因为C⊆(A∩B)，所以解得<a≤，即实数a的取值范围是.20．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|4x－1>x＋2}，B＝{x|－1<x<2m－3}．(1)当m＝4时，求(∁UA)∩B；(2)若A∩B恰好包含了两个整数，写出这两个整数构成的集合的所有子集．[解析]　(1)因为全集U＝R，集合A＝{x|4x－1>x＋2}＝{x|x>1}，当m＝4时，∁UA＝{x|x≤1}，集合B＝{x|－1<x<5}，所以(∁UA)∩B＝{x|－1<x≤1}．(2)因为A＝{x|4x－1>x＋2}＝{x|x>1}，B＝{x|－1<x<2m－3}．A∩B恰好包含了两个整数，则这两个整数是2，3，则集合{2，3}的所有子集为：∅，{2}，{3}，{2，3}．21．(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.[解析]　(1)充分性：∵－<m<0，∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，且－3m>0，∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，则有解得－<m<0.综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.22．(本小题满分12分)(1)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；(2)已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m<x<2m－1}，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．[解析]　(1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．(2)因为p是q的充分条件，所以A⊆B，如图：则解得m>3.所以实数m的取值范围为{m|m>3}．