高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第2课时当堂检测题

第二章　2.1　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列运用等式的性质，变形不正确的是(　D　)

A．若x＝y，则x＋5＝y＋5

B．若a＝b，则ac＝bc

C．若＝，则a＝b

D．若x＝y，则＝

[解析]　对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，正确；对于选项C，由等式的性质4知，若＝，则a＝b，正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故此选项错误．

2．已知0<a<1，0<b<1，记M＝a·b，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　C　)

A．M<N　　　　 B．M＝N

C．M>N　　 D．不确定

[解析]　∵0<a<1，0<b<1，M＝a·b，N＝a＋b－1，∴M－N＝a·b－a－b＋1＝(a－1)(b－1)>0，∴M>N.

3．已知a>b>c，则＋的值是(　A　)

A．正数　　 B．负数

C．非正数　　 D．非负数

[解析]　＋＝，

∵a>b>c，∴b－a<0，b－c>0，c－a<0，

∴上式>0，故选A．

4．若不等式a>b与>同时成立，则必有(　C　)

A．a>b>0　　 B．0>>

C．a>0>b　　 D．>>0

[解析]　若a>b>0，则<，同理0>a>b时，<，所以只有当a>0>b时，满足>.

5．已知a>b>0，c<d<0，e<0，则下述一定正确的是(　C　)

A．ae>be　　 B．c2<d2

C．＋>0　　 D．(d－c)e>

[解析]　因为a>b>0，c<d<0，e<0，

所以ae<be，c2>d2，故AB错误；－c>－d>0，所以a－c>b－d>0，

所以<，所以>，

即＋>0，故C正确；对于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－，e＝－1时，

则e＝2＝，故D错误．故选C．

6．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(　C　)

A．xy>yz　　 B．xz>yz

C．xy>xz　　 D．x|y|>z|y|

[解析]　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz.

二、填空题

7．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是__②④__.

8．若－10<a<b<8，则|a|＋b的取值范围是__0<|a|＋b<18__.

[解析]　当a≥0时，有0≤a<8，0<b<8，故0<a＋b<16，即0<|a|＋b<16；当a<0时，－10<a<0，故0<－a<10，因为－10<b<8，所以－10<－a＋b<18，又a<b，所以0<－a＋b<18，即0<|a|＋b<18.综上，0<|a|＋b<18.

9．已知2b<a<－b，则的取值范围为__－1<<2__.

[解析]　∵2b<a<－b，∴2b<－b.∴b<0.

∴<<，即－1<<2.

三、解答题

10．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.

[证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－ac<－bc.

又e>f，即f<e，∴f－ac<e－bc.

11．已知a>b>0，c<d<0，比较与的大小．

[解析]　∵c<d<0，

∴－c>－d>0.

又a>b>0，

∴a－c>b－d>0，

∴>>0，

又a>b>0，

∴>.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若－1<α<β<1，则下列不等式恒成立的是(　A　)

A．－2<α－β<0　　 B．－2<α－β<－1

C．－1<α－β<0　　 D．－1<α－β<1

[解析]　∵－1<β<1，

∴－1<－β<1，－2<α－β<2，

又∵α<β，

∴α－β<0，－2<α－β<0.

2．若a<0，－1<b<0，则下列各式中正确的是(　D　)

A．a>ab>ab2　　 B． ab>a>ab2

C． ab2>ab>a　　 D． ab>ab2>a

[解析]　∵a<0，－1<b<0，

∴ab>0，ab2<0，

又－1<b<0，∴0<b2<1，两边同乘以负数a，可知ab2>a，∴ab>0>ab2>a，故选D．

3．(2021·陕西咸阳高二期末)设实数a＝－，b＝－1，c＝－，则(　A　)

A．b>a>c　　 B．c>b>a

C．a>b>c　　 D．c>a>b

[解析]　－＝，－1＝，

－＝，∵＋1<＋<＋，

∴>>，b>a>c，故选A．

4．(多选题)下列命题中为真命题的是(　BC　)

A．若a>b，则>1

B．若a>0，则>

C．若<，则a<b

D．若c>a>b>0，则<

[解析]　当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但<1，故A错误；若a>0，则－＝>0，故B正确；因为－＝<0，所以c2>0，a－b<0，则a<b，故C正确；当c＝3，a＝2，b＝1时，>，故D错误；故选BC．

二、填空题

5．给出下列命题：

①若a<b，c<0，则<；

②若ac－3>bc－3，则a>b；

③若a>b且k∈N＋，则ak>bk；

④若c>a>b>0，则>.

其中正确命题的序号是__④__.

[解析]　①当ab<0时，<不成立，故①不正确；

②当c<0时，a<b，故②不正确；

③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确；

④a>b>0⇒－a<－b<0⇒0<c－a<c－b，

两边同乘以，得0<<，

又a>b>0，∴>，故④正确．

6．用不等式表示如下图所示两个函数之间的关系为__x2＋1>__.

[解析]　函数y＝x2＋1的图象始终在函数y＝的图象的上方，也就是说y＝x2＋1的函数值总是大于y＝的函数值，故x2＋1>.

7．已知0<a<，且M＝－，N＝－，则M，N的大小关系为__M>N__.

[解析]　由0<a<，得1＋a>0，1＋b>0，ab<1，所以M－N＝－－＝＋＝>0，所以M>N.

三、解答题

8．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b.若a≠b，试判断哪辆车先到达B地．

[解析]　设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2，则

t1＝，t2＝＋.

因为t1－t2＝－＝＝－<0，所以t1<t2，所以甲先到达B地．

9．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围．

[解析]　解法一：设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，

b＝，

∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.

∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.

则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.

解法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，

∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.

∴∴

又

∴－2≤4a－2b≤10.