人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时课时训练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二章　2.2　第1课时A　组·素养自测一、选择题1．下列不等式中正确的是(　D　)A．a＋≥4　　　 B．a2＋b2≥4abC．≥　　 D．x2＋≥2[解析]　a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　D　)A．a＝4　　 B．a＝C．a＝－　　 D．a＝±[解析]　a2＋≥4，当a2＝，a2＝2，a＝±时，等号成立．3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　D　)A．10　　 B．25C．5　　 D．2[解析]　a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，故选D．4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　B　)A．　　 B．C．　　 D．[解析]　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．5．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　C　)A．6　　 B．8C．16　　 D．20[解析]　由已知条件得＋＝＝＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，a＋b＝1时，即a＝，b＝时等号成立．故选C．6．已知a>0，b>0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为(　D　)A．A≤B≤C　　 B．A≤C≤BC．B≤C≤A　　 D．C≤B≤A[解析]　由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D．二、填空题7．当x>1时，(x－1)＋＋2的最小值为__8__.[解析]　令t＝(x－1)＋＋2，因为x－1>0，所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8.8．已知a>b>c，则与的大小关系是__≤__.[解析]　因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0.≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.9．已知x<0，则2x＋的最大值为__－12__.[解析]　因为x<0，所以－x>0.则2x＋＝－≤－2＝－12，当且仅当－2x＝，即x＝－3时，2x＋取得最大值为－12.三、解答题10．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？[解析]　x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2.11．设x>0，求证：x＋≥.[解析]　∵x>0，∴x＋＝x＋＝＋－≥2－＝2－＝.当且仅当x＋＝.x＝时取等号．综上所述，原式得证．B　组·素养提升一、选择题1．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　C　)A．x＝3　　 B．x＝6C．x＝5　　 D．x＝10[解析]　∵x>2，∴x－2>0，∴＋(x－2)≥2＝6，当且仅当＝x－2，即x＝5时，等号成立，故选C．2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　B　)A．　　 B．C．　　 D．[解析]　由x2＋3xy－1＝0可得y＝.因为x>0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝.故x＋y的最小值为.3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　ABC　)A．ab<1　　 B．1<C．ab<　　 D．<ab[解析]　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，又∵>，a＋b＝2，∴>1，∴ab<1<.4．(多选题)下列结论正确的是(　AD　)A．当x>0时，＋≥2B．当x>2时，x＋的最小值是2C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5D．当x>0，y>0时，＋≥2[解析]　在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD．二、填空题5．若a>0，b>0，且a＋2b＝4，则ab的最大值是__2__.[解析]　∵a>0，b>0，a＋2b＝4，∴4＝a＋2b≥2，∴ab≤2，当且仅当a＝2b时取等号，即a＝2，b＝1时取等号．故答案为2.6．当x>0时，若2x＋(a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝__18__.[解析]　∵a>0，且2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，2x＋取得最小值，∴＝3，解得a＝18.7．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值为__8＋4__.[解析]　∵3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当a＝，b＝时取到最小值．三、解答题8．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋>2；(2)<.[证明]　(1)∵x>0，y>0，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，∴＋≥2.由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．∴＋>2.(2)∵x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2，∴<1，∴<，∴<.9．已知实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最大值．[解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝2，令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，∴a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，∴＋＝＋＝m＋n－4＋＋＝≥＝1，∴m≤1，所以实数m的最大值为1.