新教材2023年高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式第1课时二次函数与一元二次方程不等式素养作业新人教A版必修第一册

第二章　2.3　第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．不等式6－x－2x2<0的解集是(　D　)

A．

B．

C．

D．

[解析]　不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为.故选D．

2．如果关于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于(　B　)

A．－81　　　　 B．81

C．－64　　 D．64

[解析]　原不等式可化为x2－ax－b<0，

其解集是{x|1<x<3}，那么由根与系数的关系得，

解得a＝4，b＝－3，

所以ba＝(－3)4＝81.

3．已知0<a<1，关于x的不等式(x－a)>0的解集为(　A　)

A．

B．{x|x>a}

C．

D．

[解析]　因为0<a<1，所以>1，所以a<，

所以不等式的解集为.故选A．

4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　C　)

A．{x|x>3或x<－2}

B．{x|x>2或x<－3}

C．{x|－2<x<3}

D．{x|－3<x<2}

[解析]　由已知得a(x＋2)(x－3)>0，

∵a<0，∴(x＋2)(x－3)<0，∴－2<x<3.

∴所求不等式的解集为{x|－2<x<3}．

5．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是(　A　)

A．－2≤k≤2　　　　　　　　 B．k≤－2，或k≥2

C．－2<k<2　　 D．k<－2，或k>2

[解析]　由不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，得对应的二次函数y＝x2＋kx＋1的图象全部在x轴或x轴上方，则Δ＝k2－4×1×1≤0，解得－2≤k≤2.

6．若关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集为，则a的取值范围为(　B　)

A．a<0，或a>1　　 B．a>1

C．0<a<1　　 D．a<0

[解析]　不等式ax2－(a＋1)x＋1<0可化为(ax－1)(x－1)<0，由不等式ax2－(a＋1)x＋1<0的解集为，得a>0，方程

(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝，且<1，则a的取值范围为a>1，故选B．

二、填空题

7．函数y＝ 的定义域为__{x|－3<x<4}__.

[解析]　由－x2＋x＋12>0，得x2－x－12<0，解得－3<x<4，所以定义域为{x|－3<x<4}．

8．设函数y＝x2－4x＋6>3，则不等式的解集是__{x|x<1或x>3}__.

[解析]　∵x2－4x＋6>3，∴x>3或x<1；

综上，不等式的解集为{x|x<1或x>3}．

9．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，则k的取值范围是__{k|2<k<4}__.

[解析]　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，把x＝1代入不等式，得k2－6k＋8<0，解得2<k<4.

三、解答题

10．解不等式－1<x2＋2x－1≤2.

[解析]　原不等式可化为

即即

所以

如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或0<x≤1}．

11．解关于x的不等式ax2－x>0.

[解析]　(1)当a＝0时，不等式为－x>0，所以x<0，

(2)当a≠0时，方程ax2－x＝0的两根为0与；

①当a>0时，>0，所以x>或x<0；

②当a<0时，<0，所以<x<0.

综上，当a>0，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x<0}；

当a<0时，不等式的解集为.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若使有意义的x取值为实数集R，则实数a的取值范围为(　D　)

A．{a|－2<a<2}

B．{a|a<－2或a>2}

C．{a|a≤－2或a≥2}

D．{a|－2≤a≤2}

[解析]　由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，

∴Δ≤0，即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.

2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　C　)

A．100台　　 B．120台

C．150台　　 D．180台

[解析]　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，

即x2＋50x－30 000≥0，

解得x≥150或x≤－200(舍去)．

3．(多选题)下列关于不等式x2－(a＋1)x＋a>0的解集讨论正确的是(　CD　)

A．当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a>0的解集为∅

B．当a>1时，x2－(a＋1)x＋a>0的解集为{x|x>a}

C．当a<1时，x2－(a＋1)x＋a>0的解集为{x|x<a或x>1}

D．无论a取何值时，x2－(a＋1)x＋a>0的解集均不为空集

[解析]　当a＝1时，原不等式为x2－2x＋1＝(x－1)2>0，解得x≠1，故A不正确；当a>1时，原不等式为x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)>0，解得x<1或x>a，故B不正确；当a<1时，原不等式为x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)>0，解得x>1或x<a，故C正确；由二次函数y＝x2－(a＋1)x＋a，开口向上，所以无论a取何值时，不等式均有解，故D正确；故选CD．

4．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为(　CD　)

A．{a|－1≤a≤4}　　 B．{a|－1<a<4}

C．{a|a<－1}　　 D．{a|a>4}

[解析]　若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，

所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.

所以题中a可以取的范围为{a|a<－1}∪{a|a>4}．

二、填空题

5．已知函数y＝的值域为{y|y<2}，则a的取值范围为__{a|－6<a<2}__.

[解析]　∵x2－x＋1＝2＋≥，

因为y＝<2，

所以x2＋ax－2<2(x2－x＋1)，

整理可得x2－(a＋2)x＋4>0对任意的x∈R都成立，

所以Δ<0，即(a＋2)2－16<0，

解得－6<a<2.

6．若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为____.

[解析]　原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0.

①当1－m2＝0时，m＝±1.

当m＝－1时，不等式可化为－1<0，显然成立；

当m＝1时，不等式可化为2x－1<0，解得x<，

故不等式的解集不是R，不合题意；

②当1－m2≠0时，由不等式恒成立可得

解得m<－1或m>，

综上可知：实数m的取值范围为.

7．已知函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为{y|y≥0}，若关于x的不等式y<c的解集为{x|m<x<m＋6}，则实数c的值为__9__.

[解析]　由题意知y＝x2＋ax＋b＝2＋b－.

∵函数y＝x2＋ax＋b的值域为{y|y≥0}，

∴b－＝0，即b＝.

∴y＝2.又∵y<c，∴2<c，

即－－<x<－＋.

∴②－①，得2＝6，

∴c＝9.

三、解答题

8．解关于x的不等式ax2－(2＋2a)x＋4>0.

[解析]　(1)当a＝0时，原不等式可化为：x－2<0，即x<2.

(2)当a<0时，<0<2，所以<x<2.

(3)当a＝1时，原不等式化为(x－2)2>0，x≠2.

(4)当0<a<1时，2<.所以x>或x<2.

(5)a>1时，2>，所以x>2或x<.

综上可知，不等式的解集为：a＝0时，{x|x<2}；a<0时，；a＝1时，{x|x≠2}；0<a<1时，，a>1时，.

9．在①∀x∈{x|－2≤x≤2}，②∃x∈{x|1≤x≤3}这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．

已知函数y＝x2＋ax＋4.

(1)当a＝－2时，求y＝x2＋ax＋4在x∈{x|－2≤x≤2}上的值域；

(2)若________，y≥0，求实数a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

[解析]　(1)a＝－2时，y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，

y＝x2＋ax＋4的对称轴x＝1∈{x|－2≤x≤2}，∴ymax＝ymin(x)＝max{12，4}＝12，

∴f(x)的值域为{y|3≤y≤12}．

(2)选择条件①的解析：

若a≥4，则函数y＝x2＋ax＋4在x∈{x|－2<x<2}上单调递增，

∴ymin＝8－2a≥0；

又∵a≥4，∴a＝4.

若－4<a<4，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，

∴ymin＝4－≥0⇒－4<a<4.

若a≤－4，则函数y＝x2＋ax＋4在{x|－2<x<2}单调递减，

∴ymin＝8＋2a≥0

又∵a≤－4，∴a＝－4.综上所述：－4≤a≤4.

选择条件②的解析：

∵∃x∈{x|1≤x≤3}，y≥0，∴ymax≥0，即max{5＋a,13＋3a}≥0.

∴5＋a≥0或13＋3a≥0，即a≥－5或a≥－.∴a≥－5.