高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时课后复习题

第三章　3.1　3.1.1　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．函数f(x)＝＋的定义域为(　B　)

A．[－2，1]　　 B．(－2，1]

C．(0，1]　　 D．(1，＋∞)

[解析]　要使函数f(x)＝＋有意义，

则 ，解得－2<x≤1，

则函数f(x)的定义域为(－2，1]．

故选B．

2．(2021·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　D　)

[解析]　由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．

3．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1，1，2}的值域是(　A　)

A．{0，2，3}　　　　 B．[0，3]

C．[0，3)　　 D．[1，3)

[解析]　x＝－1时，f(－1)＝0；x＝1时，f(1)＝2；x＝2时，f(2)＝3.所以函数f(x)的值域为{0，2，3}．

4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　B　)

A．y＝　　 B．y＝

C．y＝　　 D．y＝x2＋x＋1

[解析]　A选项中，y的值可以取0；C选项中，y可以取负值；对D选项，x2＋x＋1＝2＋，故其值域为，只有B选项的值域是(0，＋∞)．故选B．

5．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是(　A　)

A．[－3，1]　　 B．(－3，1)

C．(－3，＋∞)　　 D．(－∞，1]

[解析]　由于y＝f(x)与y＝＋是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3，1]．故选A．

6．已知定义在[－3，3]上的函数y＝f(x)，其图象如图所示，则只有唯一的x值与之对应的y的取值范围是(　D　)

A．(3，＋∞)　　 B．[0，2)∪[3，＋∞)

C．(0，＋∞)　　 D．[0，1)∪(3，＋∞)

[解析]　作直线y＝m，使得y＝m与y＝f(x)的图象有且只有一个交点，则0≤m<1或m>3.

二、填空题

7．函数y＝的定义域用区间表示为__(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]__.

[解析]　要使函数有意义，需满足

即

∴定义域为(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]．

8．下列各对函数中是同一函数的是__②④__.

①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；

②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；

③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；

④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.

[解析]　①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数．

9．若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，则f(2x－1)的定义域为__[0，1)__.

[解析]　由y＝f(x)的定义域为[－1，1)，

则－1≤2x－1＜1，

解得0≤x＜1，

所以f(2x－1)的定义域为[0，1)．

三、解答题

10．求下列函数的值域．

(1)y＝2x＋1，x∈[1，5]；

(2)y＝－1；

(3)y＝.

[解析]　(1)∵1≤x≤5，∴2≤2x≤10，

∴3≤2x＋1≤11，所以函数的值域为{y|3≤y≤11}．

(2)∵≥0，∴－1≥－1.

∴函数y＝－1的值域为[－1，＋∞)．

(3)y＝＝

＝＝－.

∵≠0，∴y≠.

∴函数y＝的值域为.

11．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．

(1)x∈R；

(2)x∈[0，＋∞)；

(3)x∈[－2，2]；

(4)x∈[1，2]．

[解析]　(1)∵y＝(x＋1)2－4，∴y≥－4，

∴值域为[－4，＋∞)．

(2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示，当x＝0时，y＝－3，

∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)．

(3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4；

当x＝2时，y＝5.

∴当x∈[－2，2]时，值域为[－4，5]．

(4)根据图象可得当x＝1时，y＝0；

当x＝2时，y＝5.

∴当x∈[1，2]时，值域为[0，5]．

B　组·素养提升

一、选择题

1．函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝(　B　)

A．[－1，＋∞)　　 B．

C．　　 D．

[解析]　∵M＝，N＝{x|x≥－1}，

∴M∩N＝.故选B．

2．(2021·河北唐山一中高一阶段检测)若函数y＝f(x) 的定义域是(0，4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(x2)的定义域是(　A　)

A．(0，2]　　 B．(0，4]

C．(0，16]　　 D．[－16，0)∪(0，16]

[解析]　要使g(x)有定义，则需满足，解得0<x≤2.故选A．

3．(多选题)下列各组函数中，两个函数是同一函数的有(　AC　)

A．f(x)＝x与g(x)＝

B．f(x)＝ln x2与g(x)＝2ln x

C．f(x)＝x2－1与g(x)＝(x＋1)2－2(x＋1)

D．f(x)＝与g(x)＝

[解析]　f(x)＝x与g(x)＝＝x，两个函数的定义域为R，对应法则也一样，则A正确；f(x)＝ln x2的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝2ln x的定义域为{x|x>0}，则这两个函数不是同一个函数，则B不选；f(x)＝x2－1与g(x)＝(x＋1)2－2(x＋1)＝x2－1，两个函数的定义域为R，对应法则也一样，则C正确；f(x)＝的定义域为{x|x>1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1}，则这两个函数不是同一个函数，则D不选．故选AC．

4．(多选题)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中不能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　ACD　)

[解析]　A、C、D的值域都不是[1，2]，故选ACD．

二、填空题

5．若函数f(x)＝ax2－1，a为正常数，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是__1__.

[解析]　f(－1)＝a－1，∴f[f(－1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，

∴a(a－1)2＝0，

又∵a>0，∴(a－1)2＝0，∴a＝1.

6．函数y＝(1≤x≤3)的值域为____.

[解析]　∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9，

∴≤≤1，∴≤≤8，

∴函数y＝(1≤x≤3)的值域为.

7．果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3 000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为__y＝3 000－2.5x__；x的取值范围是__[100，1 200]__.

[解析]　由题意可知函数关系式是y＝3 000－2.5x，

由题意可知最少买100千克，最多买＝1 200千克，所以函数的定义域是[100，1 200]．

故答案为y＝3 000－2.5x；[100，1 200]．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝x＋.

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(－1)，f(2)的值；

(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．

[解析]　(1)要使函数有意义，必须使x≠0，

∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.

(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.

9．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

[解析]　f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，1)，开口向上，若存在实数m，使该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m]，则需m>1，且f(m)＝m，

即m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，

解得m＝3或m＝1(舍去m＝1)．

故存在实数m＝3满足条件．