高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质随堂练习题

第三章　3.2　3.2.2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列说法正确的是(　B　)

A．偶函数的图象一定与y轴相交

B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0

C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点

D．图象过原点的奇函数必是单调函数

[解析]　A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B．

2．(2022·河北邢台八中高一检测)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　A　)

A．－2　　 B．0

C．1　　 D．2

[解析]　f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A．

3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下面坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是(　C　)

A．(a，－f(a))　　 B．(－a，f(a))

C．(－a，－f(a))　　 D．(a，f(－a))

[解析]　∵y＝f(x)是奇函数，

∴f(－a)＝－f(a)，

∴(－a，－f(a))在y＝f(x)图象上．

4．下列函数中既是奇函数又是偶函数的是(　A　)

A．f(x)＝－

B．f(x)＝＋

C．f(x)＝

D．f(x)＝

[解析]　选项A中定义域为{－1，1}，函数解析式为y＝0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函数，选项D为非奇非偶函数，故选A．

5．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上单调递减且最大值为5，那么f(x)在区间[3，7]上(　C　)

A．单调递增且最小值为－5

B．单调递增且最大值为－5

C．单调递减且最小值为－5

D．单调递减且最大值为－5

[解析]　∵f(x)为奇函数，

∴f(x)在[3，7]上的单调性与在[－7，－3]上一致，且f(7)＝－5为最小值．故选C．

6．若奇函数f(x)在x≥0时的解析式为f(x)＝x2－x，则当x<0时，f(x)＝(　C　)

A．x2＋x　　 B．x2－x

C．－x2－x　　 D．－x2＋x

[解析]　设x<0时，则－x>0，

所以f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x，

因为f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x.

故选C．

二、填空题

7．若函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是__(－∞，0]__.

[解析]　函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则函数f(x)的图象关于y轴对称，所以m－1＝0，即m＝1，所以f(x)＝－x2＋2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]．

8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝__－5__.

[解析]　由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.

9．若f(x)为偶函数，则f(＋1)－f＝__0__.

[解析]　因为f(x)为偶函数，

所以f＝f[－(1＋)]＝f(1＋)，

故f(＋1)－f＝0.

三、解答题

10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．

[解析]　f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2

又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：

f(x)＝x2－2，g(x)＝x.

11．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．

[解析]　∵当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2，

且f(x)是奇函数，∴当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝x2－3x＋2.

故当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝3x－x2－2.

∴当x∈时，f(x)是增函数；

当x∈时，f(x)是减函数．因此当x∈[1，3]时，f(x)max＝f＝，f(x)min＝f(3)＝－2.

∴m＝，n＝－2，从而m－n＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2a，a]上的偶函数，则a－b＝(　A　)

A．1　　 B．2

C．3　　 D．4

[解析]　∵二次函数为偶函数，∴对称轴为y轴，且区间[2－2a，a]关于原点对称，

∵⇒，∴a－b＝1，故选A．

2．(2021·全国高考乙卷理科)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　B　)

A．f(x－1)－1　　 B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1　　 D．f(x＋1)＋1

[解析]　由题意可得f(x)＝＝－1＋，

对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；

对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；

对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．

故选B．

3．(多选题)(2021·山东枣庄高一联考)关于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　AC　)

A．f(x)的图象过原点

B．f(x)是奇函数

C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减

D．f(x)是定义域上的增函数

[解析]　函数f(x)＝＝＝1＋，f(0)＝0，A对；图象关于(1，1)点对称，B错；f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，整个定义域上不是减函数，故C对，D错．

4．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　BD　)

A．|f(x)·g(x)|是奇函数

B．f(x)|g(x)|是奇函数

C．f(x)＋|g(x)|是偶函数

D．|f(x)|＋g(x)是偶函数

[解析]　A中，令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)＝f(x)·|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，由g(x)是偶函数可得g(－x)＝g(x)，由f(－x)＋|g(－x)|＝－f(x)＋|g(x)|知C错误；D中，由|f(－x)|＋g(x)＝|－f(x)|＋g(x)＝|f(x)|＋g(x)，知D正确，故选BD．

二、填空题

5．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__3__.

[解析]　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．

又f(x)的图象关于直线x＝2对称，

∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.

6．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为__(－∞，0]__.

[解析]　由偶函数的定义知k＝3，所以f(x)＝x2＋3，其图象开口向上，所以f(x)的递减区间是(－∞，0]．

7．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是__(－∞，0)__.

[解析]　∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．

∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．

∴f(a－1)>f(－1)．

又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.

三、解答题

8．判断函数f(x)＝的奇偶性．

[解析]　本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段讨论即可．

∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x>0)；当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x<0)．

综上可得，f(x)为奇函数．

9．已知偶函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)解不等式f(2x－1)<2.

[解析]　(1)证明：设x2>x1>0，

则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)

＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.

∵x2>x1>0，∴>1.

∴f>0，即f(x2)－f(x1)>0，

∴f(x2)>f(x1)．

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)∵f(2)＝1，

∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.

∵f(x)是偶函数，

∴不等式f(2x－1)<2可化为f(|2x－1|)<f(4)．

又∵函数在(0，＋∞)上是增函数，

∴|2x－1|<4，且2x－1≠0，

解得－<x<，且x≠，

∴不等式解集为.