新教材2023年高中数学第3章函数的概念与性质综合测试新人教A版必修第一册

第三章综合测试

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数f(x)＝＋的定义域是(　C　)

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，0)∪(0，＋∞)

C．[－1，0)∪(0，＋∞)

D．R

[解析]　要使函数有定义，则，解得x≥－1且x≠0，故选C．

2．下列函数中，与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是(　B　)

A．y＝　　 B．y＝()2

C．y＝　　 D．y＝

[解析]　A、C、D选项中函数的定义域与题目中的定义域不同，故不是同一个函数．

3．(2021·山东烟台高一期中测试)已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：

则f[f(4)]＝(　D　)

A．－1　　 B．－2

C．－3　　 D．3

[解析]　由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.

4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是(　C　)

A．－1　　 B．－2

C．－3　　 D．－4

[解析]　由已知得2α＝，解得α＝－1，

∴g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3，故选C．

5．已知函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，f(－1)＝2，则不等式f(2x＋1)<2的解集为(　A　)

A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

B．(0，＋∞)

C．(－1，0)

D．(－∞，－1)

[解析]　因为函数f(x)为偶函数且在(－∞，0]上单调递增，f(－1)＝2，

所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(1)＝2，且f(2x＋1)＝f(|2x＋1|)，

所以f(|2x＋1|)<f(1)，所以|2x＋1|>1，解得x<－1或x>0，

即x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．故选A．

6．(2021·全国高考甲卷文科)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝(　C　)

A．－　　 B．－

C．　　 D．

[解析]　由题意可得：f＝f＝f＝－f，

而f＝f＝f＝－f，故f＝.

故选C．

7．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有>0，则满足f(1－2x)－f>0的x的范围是(　A　)

A．　　 B．

C．　　 D．

[解析]　由题意可知，f(x)在(－∞，0]上为增函数，又f(x)为偶函数，故f(x)在(0，＋∞)上为减函数，由f(1－2x)>f可得－<1－2x<，解得<x<.故选A．

8．函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图(1)所示，函数g(x)的定义域为[－2，2]，图象如图(2)所示，方程f[g(x)]＝0有m个实数根，方程g[f(x)]＝0有n个实数根，则m＋n＝(　C　)

A．6　　 B．8

C．10　　 D．12

[解析]　f[g(x)]＝0，令t＝g(x)，则t1＝－1，t2＝0，t3＝1，令g(x)＝－1，x有2个根；令g(x)＝0，x有3个根，令g(x)＝1，x有2个根，∴f[g(x)]＝0共有7个根．g[f(x)]＝0，令f(x)＝t，g(t)＝0，则t＝0，即f(x)＝0，x有3个值，所以m＋n＝10.故选C．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．关于函数f(x)＝的结论正确的是(　CD　)

A．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞)

B．单调增区间是(－∞，1]

C．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]

D．单调增区间是[－1，1]

[解析]　要使函数有定义，则－x2＋2x＋3≥0，即(x－3)(x＋1)≤0，－1≤x≤3.所以函数的定义域为[－1，3]，值域为[0，2]，在[－1，1]上单调增，故选CD．

10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题中是正确命题的是(　ABD　)

A．f(0)＝0

B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1

C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数

D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x

[解析]　奇函数在对称的区间上单调性相反，故C错误，其余都正确．

11．德国数学家狄利克雷(1805～1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D(x)，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有(　ABD　)

A．D()＝0

B．D(x)的值域为{0，1}

C．D(x)为奇函数

D．D(x－1)＝D(x)

[解析]　由题得D(x)＝，则D()＝0，所以A正确；容易得D(x)的值域为{0，1}，所以B正确；因为D(－x)＝，所以D(－x)＝D(x)，D(x)为偶函数，所以C不正确；因为D(x－1)＝，所以D(x－1)＝D(x)，所以D正确．故选ABD．

12．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有(　BC　)

A．a＋b>0，ab<0　　 B．a＋b<0，ab>0

C．a＋b<0，ab<0　　 D．以上都可能

[解析]　由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x)．结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)，故BC都有可能成立．故选BC．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．(2022·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f(x)＝＋的定义域是__{x|x≤2且x≠－1}__.

[解析]　由题意得，

解得x≤2且x≠－1，

∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．

14．已知f(x)＝则f＋f等于__4__.

[解析]　∵f(x)＝

∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，

∴f＋f＝＋＝4.

15．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，则f＝____，函数f的定义域为__(0，1]__.

[解析]　幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，所以3＝9α，所以α＝，所以幂函数f(x)＝，故f＝，故－1≥0，解得0<x≤1.

16．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f(x)＝x－[x]，则下列说法正确的是__①②③__.

①f(－0.8)＝0.2；

②当1≤x<2时，f(x)＝x－1；

③函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1)；

④函数f(x)是增函数，奇函数．

[解析]　①f(－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8＋1＝0.2，正确．

②当1≤x<2时，f(x)＝x－[x]＝x－1.故B正确．

③函数f(x)的定义域为R，f(x)＝x－[x]表示x的小数部分，所以值域为[0，1)，正确．

④x＝0.5时，f(0.5)＝0.5，x＝1.5时，f(1.5)＝0.5，所以f(x)不是增函数；且f(－1.5)＝f(1.5)，所以f(x)也不是奇函数．故填①②③.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.

(1)求f(m＋1)的值；

(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．

[解析]　(1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，得a＋b＝2，2a＋b＝－1，即a＝－3，b＝5，

故f(x)＝－3x＋5，

f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.

(2)f(x)在R上是减函数．证明：任取x1<x2(x1，x2∈R)，

则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，因为x1<x2，

所以f(x2)－f(x1)<0，

即函数f(x)在R上单调递减．

18．(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f[f(x)]＝9x－2.

(1)求f(x)；

(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值．

[解析]　(1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，由于f[f(x)]＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，

故解得故f(x)＝－3x＋1.

(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，

故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，

当－1<a≤5时，y的最大值是f(－1)＝6，

当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，

综上，ymax＝

19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为P＝(t∈N*)．设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天．

[解析]　设日销售金额为y元，则y＝PQ，所以

y＝

当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，

所以当t＝10时，ymax＝900.①

当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，

所以当t＝25时，ymax＝1 125.②

结合①②得ymax＝1 125.因此这种商品日销售金额的最大值为1 125元，且在第25天日销售金额最大．

20．(本小题满分12分)已知函数g(x)＝，x∈(－1，1)．

(1)证明：函数g(x)在(－1，1)上单调递增；

(2)若g(t－1)＋g(2t)<0，求实数t的取值范围．

[解析]　(1)证明：设x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，

则g(x1)－g(x2)＝－＝＝，

∵x1－x2<0，1＋x>0，1＋x>0，1－x1x2>0，

∴<0，

即g(x1)－g(x2)<0，

∴函数g(x)在(－1，1)上单调递增．

(2)因为g(－x)＝＝－g(x)，则g(x)为奇函数．

由g(t－1)＋g(2t)<0，得g(2t)<g(1－t)．

又因为g(x)在(－1，1)上单调递增，则，解得0<t<.

故实数t的取值范围为0<t<.

21．(本小题满分12分)如果函数y＝f(x)(x∈D)满足：

①f(x)在D上是单调函数；

②存在闭区间[a，b]⊆D，使f(x)在区间[a，

b]上的值域也是[a，b]．

那么就称函数y＝f(x)为闭函数．

试判断函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]；如果不是闭函数，请说明理由．

[解析]　设x1，x2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x1<x2，则有

f(x2)－f(x1)＝(x＋2x2)－(x＋2x1)

＝(x－x)＋2(x2－x1)＝(x2－x1)(x1＋x2＋2)．

∵－1≤x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋x2＋2>0.

∴(x2－x1)(x1＋x2＋2)>0.

∴f(x2)>f(x1)．

∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是增函数．

假设存在符合条件的区间[a，b]，则有

，即.

解得或或或.

又∵－1≤a<b，∴.

∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1，0]．

22．(本小题满分12分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．

(1)已知f(x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；

(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．

[解析]　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0，1]，∴1≤u≤3，则y＝u＋－8，u∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以单调减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以单调增区间为；由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．

(2)g(x)＝－x－2a为减函数，故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0，1]．由题意知，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，

∴∴a＝.