新教材2023年高中数学第4章指数函数与对数函数综合测试新人教A版必修第一册

第四章综合测试　

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.＝(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　利用有理数指数幂的运算即可求得.＝＝＝＝.

2．(2022·兰州高一检测)下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是(　A　)

A．y＝0.001ex B．y＝1 000ln x

C．y＝x1 000 D．y＝1 000·2x

[解析]　在对数函数、幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快排除BC，指数函数中底数越大，增长越快，选A．

3．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为(　A　)

A．(－1，3) B．(－∞，3)

C．(－∞，1) D．(－1，1)

[解析]　∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，

∴不等式f(a＋1)<2等价于0<a＋1<4，解得－1<a<3，故选A．

4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a＝f(1)，b＝f(2－0.3)，c＝f(－20.3)，则(　A　)

A．b<a<c B．c<b<a

C．b<c<a D．a<b<c

[解析]　因为函数f(x)是定义在R上的偶

函数，所以c＝f(－20.3)＝f(20.3)．

又因为y＝2x是R上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(2－0.3)<f(1)<f(20.3)＝f(－20.3)，即b<a<c.

5．函数y＝logax(a>0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一坐标系中的图象可能是(　C　)

[解析]　当a>1时，y＝logax单调递增，y＝(a－1)x2－2x－1开口向上，不过原点，且对称轴x＝>0，可排除AB选项；

当0<a<1时，y＝logax单调递减，y＝(a－1)x2－2x－1开口向下，可排除D，故选C．

6．(2021·湖南长沙高一联考)函数f(x)与g(x)＝ax互为反函数，且g(x)过点(－2，4)，则f(1)＋f(2)＝(　A　)

A．－1 B．0

C．1 D．

[解析]　由题意指数函数g(x)＝ax的图象过点(－2，4)，故可得4＝a－2，解得a＝，故函数g(x)＝，

故其反函数f(x)＝logx，

故f(1)＋f(2)＝log1＋log2＝0－1＝－1.

7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列最接近的是(lg 3≈0.477)(　C　)

A．10－26 B．10－35

C．10－36 D．10－25

[解析]　所求数字过大，再根据题中lg 3的提示联想到先取对数，

对于有lg ＝361lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，分析选项中10－36与其最接近，选C．

8．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　C　)

(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)

A．2020 B．2021

C．2022 D．2023

[解析]　该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则150×(1＋8%)n－2018>200，则n>2018＋≈2021.8，所以n＝2022.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　BD　)

A．f(x)＝

B． f(x)＝5x4＋2 021x2

C．f(x)＝ex－e－x

D．f(x)＝ln

[解析]　函数f(x)＝是奇函数，故A不符合题意；f(x)＝5x4＋2021x2是偶函数，且易判断f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故B符合题意；f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)＝ex－e－x为奇函数；对于D，f(x)＝ln(|x|＋1)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，故D符合题意．故选BD．

10．下列函数中值域为R的有(　ABD　)

A．f(x)＝3x－1

B．f(x)＝lg(x2－2)

C．f(x)＝

D．f(x)＝x3－1

[解析]　A．f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件．

B．由x2－2>0得x>或x<－，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件．

C．f(x)＝

当x>2时，f(x)＝2x>4，

当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0，4]，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件．

D．f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件．

11．若a，b是实数，其中a>0，且a≠1，则满足loga(a－b)>1的选项是(　BC　)

A．a>1，b>0 B．a>1，b<0

C．0<a<1，0<b<a D．0<a<1，b<0

[解析]　∵a>0且a≠1，

∴或

∴a>1，b<0或0<a<1，0<b<a，故选BC．

12．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有(　BC　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]　作出函数f(x)＝的图象如图：

f(x)－b＝0有三个不等实数根，

即函数y＝f(x)的图象与y＝b有3个不同交点，

由图可知，b的取值范围是(1，3]，故b可取2，3.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数g(x)过点(9，2)，则f(2)＝9．

[解析]　由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9，2)，可得：y＝ax图象过点(2，9)，

所以a2＝9，又a>0，所以a＝3.所以f(2)＝32＝9.

14．已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＝1，b＝1．

[解析]　因为f(x)是定义在[－2a，3a－1]上的奇函数，

所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1，

因为函数f(x)＝为奇函数，

所以f(－x)＝＝＝－，

即b·2x－1＝－b＋2x，所以b＝1.

15．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0.2，0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2，0.6)至少等分的次数为6．

[解析]　由<0.01，得2n>＝40，故n的最小值为6.

16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；

③设野生薇甘菊蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；

④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

其中正确的说法有①②③(请把正确说法的序号都填在横线上)．

[解析]　∵其关系为指数函数，图象过点(4，16)，

∴指数函数的底数为2，故①正确；

当t＝5时，S＝32>30，故②正确；

∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，

∴t1＋t2＝t3，故③正确；

根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)计算：

(1)＋4×2－5log53；

(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23.

[解析]　(1)＋4×2－5log53＝＋(22)×2－3

＝＋2－3＝－1＋2－3＝－1＝－

(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23

＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 4－×＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1

18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－1－5(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3，20)．

(1)求a的值及y＝f(x)的零点；

(2)求不等式f(x)≥－2的解集．

[解析]　(1)根据题意，函数f(x)＝ax－1－5的图象过点(3，20)，则有20＝a2－5，

又由a>0，且a≠1，则a＝5，

f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0，

则x＝2，即函数f(x)的零点为2.

(2)f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15，

解可得x≥log515，即不等式的解集为[log515，＋∞)．

19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)的定义域为.

(1)若t＝log2x，求t的取值范围；

(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．

[解析]　(1)∵≤x≤4，∴－2≤log2x≤2，

∴－2≤t≤2.

∴t的取值范围是[－2，2]．

(2)y＝f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，

由(1)知t＝log2x，t∈[－2，2]，

∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝－.

当t＝－，即log2x＝－，x＝时，ymin＝－，

当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，ymax＝12.

20．(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．

Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；

(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

[解析]　(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．

以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，，解得.

所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.

(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本最低为 Q＝×1502－×150＋＝100 (元/102kg)．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0，3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)．

(1)求g(x)的解析式及定义域；

(2)求函数g(x)的最大值和最小值．

[解析]　(1)∵f(x)＝2x，

∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.

因为f(x)的定义域是[0，3]，所以0≤2x≤3，0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．

(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.

∵x∈[0，1]，∴2x∈[1，2]，

∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；

当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.

22．(本小题满分12分)(2022·潍坊高一检测)已知函数f(x)＝

(1)在给定的直角坐标系内直接画出f(x)的图象．

(2)写出f(x)的单调区间，并指出单调性(不要求证明)．

(3)若函数y＝t－f(x)有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

[解析]　(1)由题意知，函数f(x)大致图象如图：

(2)根据(1)中函数f(x)的大致图象，可知函数f(x)在[－1，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增．

(3)根据(1)中函数f(x)的大致图象，可知

①当t<－1时，直线y＝t与y＝f(x)没有交点；

②当t＝－1时，直线y＝t与y＝f(x)有1个交点；

③当－1<t≤1时，直线y＝t与y＝f(x)有2个交点；

④当1<t<2时，直线y＝t与y＝f(x)有1个交点；

⑤当2≤t<3时，直线y＝t与y＝f(x)有2个交点；

⑥当t＝3时，直线y＝t与y＝f(x)有1个交点；

⑦当t>3时，直线y＝t与y＝f(x)没有交点．

综上可知，当y＝t－f(x)有两个不同的零点时，t的取值范围为：(－1，1]∪[2，3)．