新教材2023年高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.2蝗制素养作业新人教A版必修第一册

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第五章　5.1.2A　组·素养自测一、选择题1．下列转化结果错误的是(　C　)A．22°30′化成弧度是B．－化成角度是－600°C．－150°化成弧度是－D．化成角度是15°[解析]　对A，22°30′＝22.5°＝，正确；对B，－＝－×°＝－600°，正确；对C，－150°＝－150×＝－，错误；对D，＝×°＝15°，正确．2．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为(　D　)A．第一象限　　 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]　∵<5<2π，∴α＝5 rad为第四象限角，其终边位于第四象限．3．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　D　)A．－－8π B．π－8πC．－10π D．π－10π[解析]　∵－1 485°＝－5×360°＋315°，又2π rad＝360°，315°＝π rad.故－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π.4．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约1 050 km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转rad，昆仑站运动的路程约为(　C　)A．2 200 km B．1 650 kmC．1 100 km D．550 km[解析]　因为昆仑站距离地球南极点约1 050 km，地球每自转rad，所以由弧长公式得：l＝1 050×≈1 100，故选C．5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　D　)A．B．C．D．(k∈Z)[解析]　阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．6．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是(　C　)A．tan 1 B．C． D．[解析]　如右图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交于D，则∠AOD＝∠AOB＝1，AC＝AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝＝.∴扇形的面积S＝×2×＝.二、填空题7．315°＝π弧度，π弧度＝105度．8．将－1 360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－8π＋．[解析]　∵－1 360°＝－4×360°＋80°，而80°＝，∴应填－8π＋.9.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为．[解析]　连接AO，OB，因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×4＝.三、解答题10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．[解析]　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成．故满足条件的角的集合为＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．(2)将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为.(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.11．(1)把310°化成弧度；(2)把 rad化成角度；(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．[解析]　(1)310°＝ rad×310＝ rad.(2) rad＝°＝75°.(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝.显然<<1<.故α<β< γ<θ＝φ.解法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ.B　组·素养提升一、选择题1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　D　)A．第一象限 B．第四象限C．x轴上 D．y轴上[解析]　∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．2．(多选题)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则(　BC　)A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变C．扇形的面积增大到原来的4倍D．扇形的圆心角增大到原来的2倍[解析]　α＝＝＝α，故圆心角不变，由面积公式S＝lr知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC．3．(多选题)下列表述中正确的是(　ABC　)A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上角的集合是C．终边在坐标轴上角的集合是D．终边在直线y＝x上角的集合是[解析]　终边在直线y＝x上角的集合应是α＝＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他选项均正确．故选ABC．4．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　D　)A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z)D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)[解析]　∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．二、填空题5．已知θ∈，则θ的终边所在的象限是第一或第二象限．[解析]　当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，∴θ的终边在第一或第二象限．6．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是dm2.[解析]　所在的圆的半径是2，所对圆心角为，所在的圆的半径是1，所对圆心角为，所在的圆的半径是，所对圆心角是.点A走过的路程是3段圆弧长之和，即：＋＋＝(dm)；3段弧所对应的扇形总面积为：＋＋＝(dm2)．三、解答题7．已知一个扇形的周长为12 cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．[解析]　设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的弧长为l＝rθ，根据题意，扇形的周长2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面积S＝lr＝(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故当r＝3时，S取得最大值，此时l＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝＝＝2.8．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；(2)比较两种方案中的扇形面积的大小．[解析]　(1)由题图①所示的方案，可得∠OAD＝，R1＝2，所以扇形的周长为C1＝2R1＋×R1＝2×2＋＝4＋.由题图②所示的方案，可得∠MON＝，R2＝1，所以扇形的周长为C2＝2R2＋×R2＝2×1＋＝2＋.所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|C1－C2|＝＝＝2－.(2)题图①所示方案的扇形面积为S1＝α1R＝××22＝.题图②所示方案的扇形面积为S2＝α2R＝××12＝.所以两种方案中的扇形面积一样大．