新教材2023年高中数学第5章三角函数5.4三角函数图象与性质5.4.2正弦函数余弦函数的性质第1课时正弦函数余弦函数的性质一素养作业新人教A版必修第一册

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第五章　5.4.2 第1课时A　组·素养自测一、选择题1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　D　)2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　B　)[解析]　由题意，f(x)是周期为2的偶函数，故选B．3．对于函数y＝cos，下列命题正确的是(　D　)A．函数是周期为2π的偶函数B．函数是周期为2π的奇函数C．函数是周期为π的偶函数D．函数是周期为π的奇函数[解析]　因为函数y＝cos＝sin 2x，T＝＝π，且y＝sin 2x是奇函数，所以y＝cos是周期为π的奇函数．4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于(　C　)A．x轴对称　　 B．原点对称C．y轴对称 D．直线x＝对称[解析]　因为y＝4cos(2x＋π)＝－4cos 2x，所以y＝4cos(2x＋π)为偶函数，其图象关于y轴对称．5．函数y＝sin的一个对称中心是(　B　)A． B．C． D．[解析]　y＝sin＝cos 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求，故选B．6．函数f(x)＝的奇偶性是(　A　)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数[解析]　因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．二、填空题7．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝－1．[解析]　因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2)．又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.8．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是π(答案不唯一)．[解析]　因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．9．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝－sin__x(x<0)．[解析]　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，∵f(x)为R上偶函数，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)＝－sin x，(x<0)．三、解答题10．已知函数f(n)＝sin，n∈Z.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值．[解析]　∵f(x)＝sin，∴T＝＝8，又f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝1，f(3)＝sin＝，f(4)＝sin π＝0，f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin＝－1，f(7)＝sin＝－，f(8)＝sin 2π＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，又2 022＝252×8＋6，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝252[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝＋1＋＋0＋＋(－1)＝.11．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；(3)求当f(x)≥时x的取值范围．[解析]　(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∵当x∈时，f(x)＝sin x，∴当x∈时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.又∵当x∈时，x＋π∈，f(x)的周期为π，∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.(2)如右图． (3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.又∵f(x)的周期为π，∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.B　组·素养提升一、选择题1．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　D　)A．y＝cos |2x|B．y＝|sin 2x|C．y＝sinD．y＝cos[解析]　y＝cos＝－sin 2x，满足既是奇函数，又是最小正周期为π的周期函数．故选D．2．函数：①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0，2π]；③y＝sin x，x∈[－π，π]；④y＝xcos x中，奇函数的个数为(　C　)A．1 B．2C．3 D．4[解析]　①③④是奇函数，故选C．3．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　AC　)A．y＝sin＋1B．y＝cosC．f(x)＝＋D．y＝cos[解析]　由y＝sin＋1＝cos 2x＋1知，y＝sin＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；由y＝cos＝－sin 2x知，y＝cos为奇函数，故B不满足条件；对任意x∈R，－1≤sin 2x≤1，∴1＋sin 2x≥0，1－sin 2x≥0.∴f(x)＝＋的定义域是R，关于原点对称．∵f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；y＝cos是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC．4．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是(　AD　)A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数B．存在φ，使f(x)是偶函数C．存在φ，使f(x)是奇函数D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数[解析]　φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数；φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD．二、填空题5．已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)，若f＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为4π．[解析]　因为f＝sin＝1，所以ω·＋＝2kπ＋(k∈Z)，由此可得ω＝3k＋(k∈Z)．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π.6．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝2．[解析]　∵f(x＋3)＝，∴f(x＋6)＝＝f(x)，故f(x)为周期为6的周期函数．f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4)＝f(1＋3)＝＝2.7．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，φ的值为－．[解析]　∵函数f(x)＝sin是奇函数，∴＋φ＝kπ，解得φ＝kπ－，k∈Z，又∵φ∈.∴k＝0时φ＝－.三、解答题8．已知函数y＝sin x＋|sin x|.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．[解析]　(1)y＝sin x＋|sin x|＝函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.9．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．[解析]　x∈时，3π－x∈，因为x∈时，f(x)＝1－sin x，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.