新教材2023年高中数学第5章三角函数5.4三角函数图象与性质5.4.2正弦函数余弦函数的性质第2课时正弦函数余弦函数的性质二素养作业新人教A版必修第一册

第五章　5.4.2 第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．y＝2sin x2的值域是(　A　)

A．[－2，2]　　　 B．[0，2]

C．[－2，0] D．R

[解析]　∵x2≥0，∴sin x2∈[－1，1]，

∴y＝2sin x2∈[－2，2]．

2．函数y＝4sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　D　)

A．0 B．－3

C．－2－ D．4－2

[解析]　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，

∴sin∈，

所以函数的值域为[－2，4]，

故最大值与最小值之和为4－2，故选D．

3．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　画出y＝|sin x|的图象即可求解．

故选C．

4．已知函数f(x)＝－cos x，下列结论错误的是(　D　)

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间上是增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称

D．函数f(x)是奇函数

[解析]　本题考查余弦函数的性质．∵f(x)＝－cos x的图象即为函数f(x)＝cos x的图象绕x轴翻折而成的，∴A，B，C均正确，函数f(x)应是偶函数，故选D．

5．三个数cos，sin，－cos的大小关系是(　C　)

A．cos>sin>－cos

B．cos>－cos>sin

C．cos<sin<－cos

D．－cos<cos<sin

[解析]　sin＝cos，－cos＝cos.

∵π>>－>π－>0，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，

∴cos<cos<cos，

即cos<sin<－cos.

6．(2021·全国新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　因为函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)，

对于函数f(x)＝7sin，由2kπ－<x－<2kπ＋(k∈Z)，

解得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，

取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，

则⊆，⊄，A选项满足条件，B不满足条件；

取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，

⊄且⊄，⊄，CD选项均不满足条件．

故选A．

二、填空题

7．函数y＝sin x，x∈的值域为．

[解析]　y＝sin x在上为增函数，在上为减函数，当x＝－时，y＝sin x有最小值－，当x＝时，y＝sin x有最大值1，所以值域为.

8．已知函数f(x)＝ax＋bsin x＋1，若f(2 015)＝7，则f(－2 015)＝－5．

[解析]　由f(2 015)＝2 015a＋bsin 2 015＋1＝7，得2 015a＋bsin 2 015＝6，∴f(－2 015)＝－2 015a－bsin 2 015＋1＝－(2 015a＋bsin 2 015)＋1＝－6＋1＝－5.

9．函数y＝的最大值为3．

[解析]　由y＝，得y(2－cos x)＝2＋cos x，即cos x＝(y≠－1)，因为－1≤cos x≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.

三、解答题

10．求下列函数的单调区间．

(1)y＝cos 2x；

(2)y＝2sin.

[解析]　(1)函数y＝cos 2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定

2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①

2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②

解①得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，

解②得，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．

故函数y＝cos 2x的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．

(2)y＝2sin化为

y＝－2sin.

∵y＝sin u(u∈R)的单调增、单调减区间分别为

(k∈Z)，

(k∈Z)．

∴函数y＝－2sin的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定

2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)①

2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)②

解①得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

解②得，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．

11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．

(1)y＝－sin2x＋sin x＋；

(2)y＝cos2x－sin x，x∈.

[解析]　(1)y＝－sin2x＋sin x＋＝－＋2.因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝，即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－.

(2)y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－＋.因为－≤x≤，所以－≤sin x≤，所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.

B　组·素养提升

一、选择题

1．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　A　)

A．y＝sin B．y＝cos

C．y＝sin D．y＝cos

[解析]　C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos＝－sin 2x，该函数在上为增函数，不合题意；A项中y＝sin＝cos 2x，该函数符合题意，选A．

2．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能是(　D　)

A． B．－

C． D．

[解析]　由题意，当x＝时，

f(x)＝sin＝±1，

故＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

解得φ＝kπ＋(k∈Z)．

当k＝0时，φ＝，故φ可能是.

3．(多选题)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中错误的是(　ACD　)

A．f(x)在上是递增的

B．f(x)的图象关于原点对称

C．f(x)的最小正周期为2π

D．f(x)的最大值为2

[解析]　因为函数y＝sin x在上是单调递减的，所以f(x)＝sin 2x在上是调递减的，故A错误；因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．

4．(多选题)已知函数f(x)＝3cos，则(　BD　)

A．f(x)的最小正周期为

B．f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z

C．f(x)在上是增函数

D．f(x)的图象关于点对称

[解析]　因为f(x)＝3cos＝3cos，对于A，T＝＝π，故A不正确；对于B，f(x)的对称轴方程为2x－＝kπ，解得x＝＋kπ，k∈Z，故B正确；对于C，要求f(x)的单调增区间，则

－π＋2kπ≤2x－≤kπ，k∈Z，

解得－＋≤x≤＋，k∈Z，所以单调增区间为，k∈Z，

而不是，k∈Z的子集，故C不正确；对于D，f＝3cos＝3cos＝0，

所以f(x)的图象关于点对称，故D正确．

二、填空题

5．y＝的定义域为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间为，k∈Z．

[解析]　∵sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增．

∴其递增区间为：，k∈Z.

6．(2022·江苏镇江高一期末)已知函数f(x)＝2ksin x＋3，若对任意x∈都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为[－3，3]．

[解析]　由x∈得sin x∈.

当k≥0时，－k＋3≤2ksin x＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；当k<0时，k＋3≤2ksin x＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k<0.综上所述，k的取值范围是[－3，3]．

7．函数y＝sin2x＋sin x－1的最大值为1，最小值为－.

[解析]　令t＝sin x∈[－1，1]，y＝t2＋t－1＝－(－1≤t≤1)，显然－≤y≤1.

三、解答题

8．已知函数y＝sin.

(1)求函数的周期；

(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．

[解析]　y＝sin可化为

y＝－sin.

(1)周期T＝＝＝π.

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以x∈R时，y＝sin的单调递减区间为，k∈Z.

从而x∈[－π，0]时，y＝sin的单调递减区间为，.

9．已知函数f(x)＝2asin＋a＋b的定义域为，值域是[－5，1]，求a、b的值．

[解析]　∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.

∴－≤sin≤1.

∴a>0时，解得

a<0时，解得

综上，a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.