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高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时随堂练习题
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这是一份高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时随堂练习题,共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
第五章 5.5.1 第3课时A 组·素养自测一、选择题1.已知=2,则tan的值是( C )A.2 B.-2 C. D.-[解析] 由=2,得tan==.2.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan α·tan β等于( C )A.2 B.1C. D.4[解析] ∵tan(α+β)=,∴tan α·tan β=1-=1-=,故选C.3.若sin α=,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tan β的值为( C )A. B.-C.7 D.[解析] 易知tan α=-.tan β=tan [(α+β)-α]====7.4.在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值是( B )A.- B.C. D.-[解析] 由tan A·tan B=tan A+tan B+1,得=-1,即tan(A+B)=-1.∵A+B∈(0,π),∴A+B=,∴C=,cos C=.5.在△ABC中,若0<tan Btan C<1,则△ABC是( B )A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.形状不能确定[解析] ∵0<tan Btan C<1,∴B,C均为锐角,∴<1,∴cos(B+C)>0,∴cos A<0,∴A为钝角.6.已知tan α、tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<,-<β<,则α+β的值为( B )A. B.-C.或- D.-或[解析] 由韦达定理得tan α+tan β=-3,tan α·tan β=4,∴tan α<0,tan β<0,∴tan(α+β)===,又-<α<,-<β<,且tan α<0,tan β<0,∴-π<α+β<0,∴α+β=-.二、填空题7.设tan α,tan β是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则tan(α+β)的值为-2.[解析] 因为tan α,tan β是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,所以tan α+tan β=4,tan α·tan β=3,tan(α+β)===-2.8.若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值为.[解析] tan(β-2α)=tan [(β-α)-α]===.9.tan 70°+tan 50°-tan 50°tan 70°=-.[解析] ∵tan 70°+tan 50°=tan 120°(1-tan 50°·tan 70°)=-+tan 50°·tan 70°∴原式=-+tan 50°·tan 70°-tan 50°·tan 70°=-.三、解答题10.已知sin α=-且α是第三象限角,求tan的值.[解析] ∵sin α=-且α是第三象限角,∴cos α=-=-=-.∴tan α==3.∴tan===.11.已知tan=,tan=2,求:(1)tan;(2)tan(α+β).[解析] (1)tan=tan===-.(2)tan(α+β)=tan===2-3.B 组·素养提升一、选择题1.已知α∈,tan=-3,则sin α=( A )A. B.-C. D.±[解析] tan α=tan==-,∵α∈,∴α∈,∴sin α==,故选A.2.(多选题)在△ABC中,∠C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是( CD )A.A+B=2C B.tan(A+B)=-C.tan A=tan B D.cos B=sin A[解析] ∵∠C=120°,∴∠A+∠B=60°,∴2(A+B)=C,∴tan(A+B)==,∴A,B都错;∵tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=,∴tan A·tan B=①,又tan A+tan B=②,由①②联立解得tan A=tan B=,所以cos B=sin A,故C,D正确,故选CD.3.已知α+β=,且α、β满足(tan αtan β+2)+2tan α+3tan β=0,则tan α等于( D )A.- B.C.- D.3[解析] ∵(tan αtan β+2)+2tan α+3tan β=0,∴tan αtan β+3(tan α+tan β)=tan α-2①∵tan(α+β)==,∴3(tan α+tan β)=(1-tan αtan β),②将②代入①得=tan α-2,∴tan α=+2=3.4.已知tan(α+2β+)=,tan =,那么tan 等于( B )A. B.C. D.[解析] tan =tan ===,故选B.二、填空题5.已知tan=,tan=-,则tan=.[解析] tan=tan==.6.已知tan(α+β)=1,tan(α-β)=7,则tan 2β=-.[解析] tan 2β=tan [(α+β)-(α-β)]===-.7.(2022·江苏南通高三期末改编)在△ABC中,若sin Acos B=3sin Bcos A,B=A-,则B=.[解析] ∵sin Acos B=3sin Bcos A,∴tan A=3tan B,又B=A-,∴tan B=tan=,即tan B=,∴3tan2B-2tan B+1=0,∴tan B=,又B为三角形的内角,∴B=.三、解答题8.已知tan α,tan β都是关于x的一元二次方程mx2+(2m-3)x+m-2=0的两根,求tan(α+β)的最小值.[解析] 由题意得,解得m≤且m≠0.且tan α+tan β=-,tan αtan β=.∴tan(α+β)===-m.又m≤且m≠0,∴tan(α+β)的最小值为-=-.9.是否存在锐角α和β,使得下列两式①α+2β=π ②tantan β=2-同时成立?[解析] 存在α=,β=,使①②同时成立.假设存在符合题意的锐角α和β,由(1)知:+β=,∴tan==,由(2)知tantan β=2-,∴tan+tan β=3-,∴tan,tan β是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,得x1=1,x2=2-.∵0<α<,则0<tan<1,∴tan≠1,即tan=2-,tan β=1.又∵0<β<,则β=,代入(1),得α=,∴存在锐角α=,β=,使①②同时成立.
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