新教材2023年高中数学第5章三角函数5.6函数y＝Asinωx+φ素养作业新人教A版必修第一册

这是一份新教材2023年高中数学第5章三角函数5.6函数y＝Asinωx+φ素养作业新人教A版必修第一册，共10页。
第五章　5.6A　组·素养自测一、选择题1．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　A　)A．　 B．C． D．[解析]　令4x－＝，得x＝.∴该点坐标为.2．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是(　C　)A．y＝sin 　　 B．y＝sin x－C．y＝sin  D．y＝sin x＋[解析]　函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 的图象．3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则A，ω的值分别为(　A　)A．2，2 B．2，1C．4，2 D．2，4[解析]　由函数的图象可得A＝2，T＝－＝π，∴ω＝＝2，故选A．4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　A　)A．2 B．4　C．6 D．8[解析]　函数f(x)的周期T≤4＝π，则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.5．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　D　)A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2[解析]　C1：y＝cos x＝sin.即y＝siny＝sin＝sin 2y＝sin 2＝sin 2.6．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的一个对称中心是(　B　)A． B．C． D．[解析]　函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为：y＝sin，再向右平移个单位得到图象的解析式y＝sin＝sin 2x，当x＝时，y＝sin π＝0，所以是函数y＝sin 2x的一个对称中心．故选B．二、填空题7．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝．初相φ＝．[解析]　当t＝时，s＝3sin＝3×＝.8．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，所得函数的解析式为y＝－cos__2x．[解析]　把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位，可得y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象．9．(2021·全国高考甲卷文科)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝－．[解析]　由题意可得：T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，∴φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得：φ＝－，据此有：f(x)＝2cos，f＝2cos＝2cos＝－.故答案为：－.三、解答题10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．[解析]　方法一(最值点法)：由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.又＝，∴图象上的最高点为，∴＝sin，即sin＝1，可取φ＝－，故函数的一个解析式为y＝sin.方法二(五点对应法)：由图象知A＝，又图象过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得解得故函数的一个解析式为y＝sin.11．已知函数y＝3sin.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．[解析]　(1)列表： x－0π2πxy030－30描点：在坐标系中描出下列各点，，，，.连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图所示．这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin的图象．(2)①把y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象；②把y＝sin图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；③将y＝sin的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．B　组·素养提升一、选择题1．(2021·全国高考乙卷理科)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　B　)A．sin B．sinC．sin D．sin[解析]　解法一：函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f的图象，根据已知得到了函数y＝sin的图象，所以f＝sin，令t＝2，则x＝＋，x－＝＋，所以f(t)＝sin，所以f(x)＝sin.解法二：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin.故选B．2．函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的图象的一个对称中心是(　B　)A．点 B．点C．点 D．点[解析]　由函数图象知A＝2，由图象过点(0，)，可得2sin φ＝，即sin φ＝.由于|φ|<，得φ＝，即f(x)＝2sin.由2x＋＝kπ，k∈Z可解得x＝－，k∈Z.故f(x)的图象的对称中心点，k∈Z.当k＝0时，f(x)的图象的一个对称中心是点.3．(多选题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0，1)，则函数f(x)＝sin(2x＋φ)(　BD　)A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增[解析]　将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin，函数f(x)的图象过点P(0，1)，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z；所以φ＝－＋2kπ，k∈Z；因为－π<φ<0，所以φ＝－；所以函数f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z；解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；所以f(x)在，上单调递增．4．(多选题)(2021·山东济南高一月考)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　AD　)A．g(x)在上的最小值为－B．g(x)在上的最小值为－1C．g(x)在上的最大值为D．g(x)在上的最大值为1[解析]　f(x)左移个单位，得到函数g(x)＝sin 2，即g(x)＝sin，当0≤x≤时，≤2x＋≤，故－≤sin≤1，当2x＋＝，x＝时g(x)max＝1，当2x＋＝，x＝时g(x)min＝－.故选AD．二、填空题5．将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y＝cos．6.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝－．[解析]　由函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是奇函数，可得φ＝，则f(x)＝Acos＝－Asin ωx(A>0，ω>0)．由△EFG是边长为2的等边三角形，可得A＝，周期T＝4＝，ω＝，则f(x)＝－sinx，∴f(1)＝－.7．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为②④．[解析]　∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．三、解答题8．已知函数f(x)＝sin ＋.(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．[解析]　(1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以对称中心为(k∈Z)．(3)当sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，所以x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为，此时x的取值集合是.9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0，1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0，2)和(x0＋2π，－2)．(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的单调增区间；(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．[解析]　(1)由题意作出f(x)的简图如图．由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，∴4π＝，即ω＝，∴f(x)＝2sin，∴f(0)＝2sin φ＝1，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.∵f(x0)＝2sin＝2，∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.∴x0＝4kπ＋，k∈Z，又(x0，2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝.(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，∴－≤sin≤1，∴－≤f(x)≤2，故f(x)的值域为[－，2]．