精品解析：福建省厦门市2023届高三毕业班适应性练习数学试题（解析版）

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厦门市2023届高三毕业班适应性练习数学试题满分150分 考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，则在复平面内对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】因为，所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限；故选：A2. 已知双曲线的焦距为4，则其离心率为（    ）A.  B.  C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的焦距的定义及双曲线的标准方程的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】由双曲线的焦距为4，可得，所以，.故选：B.3. 某餐馆在网站有200条评价，好评率为，在网站有100条评价，好评率为．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知数据直接计算可得.【详解】解：由已知可得这家餐馆的好评率为.故选:C.4. 已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先根据勾股定理求解圆台的高，再根据台体的体积公式求解即可.【详解】由图可得，圆台的高为，故圆台的体积为.  故选：B5. 17世纪中叶，人们认为同时掷两枚骰子时，若不给两枚骰子标记号，两枚骰子的点数和为6或7的可能结果数相同，则出现的概率就应该相同．然而有人发现，多次的试验结果和人们的预想不一致，这个问题最终被伽利略解决．则（    ）A. 当不给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有5种B. 当给两枚骰子标记号时，出现点数和为7的结果有3种C. 出现点数和为7的概率为D. 出现点数和为6的概率比出现点数和为7的概率更大【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的方法，将所有满足条件的情况列出再分析即可.【详解】对A，当不给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有，，共三种情况，故A错误；对B，当给两枚骰子标记号时，出现点数和为7的结果有，，，，，共6种情况，故B错误；对C，由B，出现点数和为7的情况共6种，投掷两枚骰子所有可能的情况有种，故出现点数和为7的概率为，故C正确；对D，当给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有，，，，共5种情况，故出现点数和为7的概率为，故D错误；故选：C6. 比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点，若平行光与桌面夹角为，球的半径为，则点到球与桌面切点距离的最大值为（    ）    A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用平行投影作出图象求解.【详解】解：由题意，如图所示，则，所以到球与桌面切点距离的最大值为： ，， ，故选：D7. 已知定点在边长为1的正方形外，且，对正方形上任意点，都有的面积，则的最大值为（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】如图建立平面直角坐标系，依题意在线段的垂直平分线上，根据面积公式及数量积的定义得到，即可确定的坐标，设，表示出，再由不等式的性质求出的取值范围，即可得解.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，，因为，所以在线段的垂直平分线上，又，即，所以，则，所以，即，设，则，，所以，解得或，又定点在边长为1的正方形外，所以，设，则，，所以，若在线段上，则，，此时，因为，则，所以，则，若在线段上，则，，此时，因为，则， 所以，则，若在线段上，则，，此时，因为，则， 所以，则，若在线段上，则，，此时，因为，则， 所以，则，综上可得，即，当且仅当，即点位于点时取得最大值.  故选：C8. 已知，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，即可求导比较，利用，即可比较.【详解】因为，当，故在单调递增，在单调递减，故，所以在上恒成立，当时，，故法1：构造函数当时，令，令，则当时，，所以在单调递减所以，所以所以，故选法2：由泰勒展式所以，所以故选:B【点睛】本题考查了利用导数比较函数值大小.利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在比较函数值大小时，常采用两种思路：1直接利用基本初等函数的单调性比较；2构造函数，利用导数求解单调性.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（    ）  A. 《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数B. 《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C. 《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D. 《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数【答案】ABD【解析】【分析】根据图表信息逐一判断即可.【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A正确;由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差 ,所以B正确.《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差,故C错误 ;《满江红》日票房的第25百分位数，第25百分位数是从小到大排序第个数，《流浪地球2》日票房的第75百分位数，第75百分位数是从小到大排序第个数，《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数, 所以D正确.故选：ABD.10. 已知函数的定义域都为为奇函数，且，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】对A，根据令结合为奇函数推导即可；对B，根据结合为奇函数，再令推导即可；对C，求出判断即可；对D，根据奇偶性与周期性可得，进而判断即可.【详解】对A，由，令可得，又为奇函数，故，，故A错误；对B，由及可得，又为奇函数，则，令则，故.故B正确；对C，由及可得，当时不成立，故C错误；对D，由AB可得且周期为2，故，故，故D正确；故选：BD11. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（    ）A. B. 当时，有且仅有一个点，使得平面C. 当时，有且仅有一个点，使得D. 当时，三棱锥的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，则可得出点P的坐标，依次判定选项即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，则因为，，所以所以，对于选项A，则，所以，因为，所以，故A答案正确；对于选项B，当时，，,设面的法向量为，则，令，所以，若平面，则，无解，所以不存在点，使得平面,故选项B错误；对于选项C，当时，,若，则，，无解，所以不存在点，使得，故C错误；对于选项D，为边长为的等边三角形，所以,点P到平面的距离为，当时，点P到平面的距离为定值，则三棱锥的体积为定值，故D选项正确.故选：AD.12. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则（    ）A.  B. 是素数时，C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据给定的欧拉函数定义逐项分析计算判断即可.详解】对A选项，由题知，所以A选项错误对B选项，当为素数时，显然成立，所以B选项正确对C选项，2的倍数都不与互质，故共有个，所以C选项正确对D选项，在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，所以，所以，所以D 选项正确故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设集合，集合，若  ，写出一个符合条件的集合__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】求得，再根据真子集的定义求解即可.【详解】，，故若  ，则可有.故答案为：（答案不唯一）14. 已知的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为__________．【答案】60【解析】【分析】由题意利用二项式展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，建立方程解出的值，再利用公式求出展开式中的常数项.【详解】因为的二项展开式为：所以它的第二项的系数为：该二项式的展开式中第二项的二项式系数为：，由的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以有：，所以二项式为，由展开式通项为：，令，所以展开式中的常数项为：.故答案为：60.15. 已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为__________．  【答案】【解析】【分析】根据图象可利用周期得，进而将代入，结合二倍角公式可得，即可求解.【详解】其中，设周期为,由图象可知：，解得,故，由于在图象上，所以；且，由于，所以，故，故可得，由于，所以，进而可得，所以，故答案为：16. 已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．【答案】##0.5【解析】【分析】根据导数几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.【详解】，假设两曲线在同一点处相切，则，可得，即，因为函数单调递增，且时，所以，则，此时两曲线在处相切，根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，所以的最大值为.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 记的内角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）点在线段上，，求的面积．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角函数的和差角公式将条件变形可得答案；（2）由可得，然后由余弦定理可解出，即可得答案；或利用正弦定理结合结合条件求，然后再利用余弦定理及三角形面积公式即得.【小问1详解】由正弦定理得：．所以所以．所以，因为，所以；【小问2详解】法1；因为，即，又，所以，即．在中，由余弦定理得，所以，所以，所以.法2：设，在中，由正弦定理得：，同理在中，所以，所以，所以，又，所以，即.在中，由余弦定理得得，所以.所以.18. 已知数列满足．（1）证明是等比数列；（2）若，求的前项和．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用等差等比数列的前项和公式，结合数列中的分组求和法即可求解.小问1详解】由题意得．又因为，所以．所以是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得．所以．所以.19. 筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．    （1）求到平面的距离；（2）当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1    （2）存在；或【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定可得平面，进而可得到平面的距离.（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，再设，根据线面角的空间向量求法求解即可.【小问1详解】因，所以不可能为四边形的对称轴，则为四边形的对称轴，所以垂直平分，所以．平面平面所以平面．所以到平面的距离．【小问2详解】存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．过作平面，所以两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系    由（1）得平面平面，因为所以．设设平面的法向量所以令，则所以平面的一个法向量设直线与平面所成角为．所以或，所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为或．20. 甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；（2）赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先求出比赛4场结束的概率，然后利用条件概率公式即可解答；（2）先由题意列出比赛收入的分布列，从而求出期望值，进而根据题意确定的值.【小问1详解】记事件为“比赛进行4场结束”；事件为“甲最终获胜”，事件表示“第场甲获胜”，事件为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件为“比赛进行4场结束乙获胜”．则，因为各场比赛结果相互独立，所以，，因为互斥，所以．又因为，所以由条件概率计算公式得.【小问2详解】设主办方本次比赛总收入为万元，由题意：的可能取值为：．，，，则随机变量的分布列为：3005007000.260.370.37所以．设主办方本次比赛获利为万元，则，所以，由题意：，所以预支球队的费用应小于261万元．21. 已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．（1）求的轨迹的方程；（2）过的直线交于两点，在第一象限，在处的切线为交轴于点，过作的平行线交于点是否存在最大值？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）    （2）存在；【解析】【分析】（1）利用向量垂直以及中点坐标公式即可求解，或者利用菱形的性质以及抛物线的定义可判断点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．（2）将问题转化为直线与的倾斜角之差最大．联立直线与抛物线方程，得到韦达定理， 求导得切线斜率，即可利用倾斜角与斜率的关系，结合正切的和差角公式以及基本不等式即可求解.【小问1详解】法1：设因为，所以，即．又，所以，所以法2：如图，设关于的对称点为，由已知得，互相垂直平分所以四边形为菱形，所以．  因为为中点，所以，即点在定直线上因为，所以与直线垂直即点到定点的距离等于点到定直线的距离所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．所以点的轨迹的方程为．【小问2详解】存在最大值．延长交于，  所以最大即直线与的倾斜角之差最大．由题意可知直线有斜率，设，（）由得所以．因为，所以的斜率，的斜率．设直线与的倾斜角为，则．．当且仅当即,时等号成立因为，所以，所以当最大时，最大，即最大此时，所以，所以的方程为．【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22. 已知函数．（1）当时，讨论在区间上的单调性；（2）若，求的值．【答案】（1）在区间上的单调递增    （2）1【解析】【分析】（1）代入，再根据结合指数函数、三角函数的范围判断导函数的正负即可；（2）注意到，进而可得则，再分析当时，求导分析导函数的正负与单调性，进而可得的最小值为0判断即可.【小问1详解】当时，．因为，所以．所以在区间上的单调递增．【小问2详解】，当时，，所以存在，当时，则在区间上单调递减，所以当时，，不满足题意当时，，所以存在，当时，则在区间上单调递增，所以当时，，不满足题意所以．下面证明时，由（1）知，在区间上的单调递增，所以当时，所以只要证明.令令，则①当时，，得所以，所以，所以在区间上单调递增且，所以，使得.且当时，；当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增且，所以当时，所以在区间上单调递减，所以当时，②当时，因为，所以，所以所以在区间上单调递减且所以，使得当时，；当时，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减且所以当时，综上，值为1.【点睛】本题主要考查了根据导数分析函数的单调性问题，同时也考查了利用导数分析函数的恒成立问题.需要根据函数的结构，注意以特殊点为突破口，不断对导数进行求导，结合三角函数的范围分区间讨论函数的正负与单调性，进而可得导数的正负与原函数的单调性与最值.属于难题.