2023年甘肃省金昌市高考数学二模试卷（理科）-普通用卷

2023年甘肃省金昌市高考数学二模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若复数满足，其中为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，若该圆台的体积为，则其母线长为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为，则该题被乙独立解出的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知向量，满足，，则向量，的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在的展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知是函数的一个零点，若，，则(    )

A.  B.
C. ， D. ，

8.  某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内的条件可以是(    )

A. ？
B. ？
C. ？
D. ？

9.  设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为，若，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在底面是边长为的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  曲线在点处的切线方程为______ ．

14.  我国古代数学著作九章算术有如下问题，“今有金箠，长五尺斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细在粗的一端截下尺，重斤；在细的一端截下尺，重斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为______ 斤
 

15.  若函数，又，是函数的图象上的两点，且的最小值为，则的估为最大值为______ ．

16.  已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，过的直线与在第一象限的交点为，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求．

18.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．
证明：平面；
若，，且，，求二面角的余弦值．

19.  本小题分
中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长单位：小时，分别从这两个班中随机抽取名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：
甲班
乙班  
如果学生平均每周自我慗夜学习的总时长超过小时，则称为“过度熬夜”．
请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；
从甲班、乙班的样本中各随机抽取名学生的数据，记“过度熬夜”的学生总数为，写出的分布列和数学期望．
 

20.  本小题分
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．
求椭圆的方程；
是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于，两点，且满足为坐标原点？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
已知函数．
若，求函数的单调区间；
若存在，使成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的直角坐标方程和的普通方程；
求曲线上的点到直线距离的最小值．

23.  本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若不等式的解集为，，，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，，
则，
所以．
故选：．
先利用指数函数的单调性和对数函数的定义域得到，，即可得到．
本题考查集合的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设复数，则，
则，则，，
所以．
故选：．
设复数，则，根据复数的加减法与复数相等求得结果．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设圆台的高为，
则圆台的体积，
解得，
故圆台母线长．
故选：．
根据圆台体积公式求出圆台高，再由高及底面半径求圆台母线．
本题主要考查了圆台的结构特征，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设乙独立解出该题的概率为，
由题意可得，．
故选：．
由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果．
本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
因为，，所以，所以，
所以，所以．
故选：．
由两边平方求得，再根据两个向量夹角的余弦公式求得结果．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
其展开式的通项为，
若先满足中的次数，则，可得，
其中展开式的通项为，
令，得，所以，
故的系数为．
故选：．
运用二项式定理的通项公式计算可得结果．
本题考查二项式定理，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，
故函数在区间上单调递减，
又，，，，
所以，
因为，，，
由单调性知，，即
故选：．
根据指数函数及一次函数的单调性确定函数递减，再由零点存在性确定零点范围，结合单调性判断，大小．
本题主要考查了函数性质在函数零点判断中的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，；，；，；，；，；，，
输出，则判断框内应填入“？”．
故选：．
根据流程图逐步代入数据检验即可判断．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，，得，
即，解得，
因为，所以，
两式相减得，即，
又，，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
，．
故选：．
由递推关系求出，根据与其前项和的关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式即可求解．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，，所以三角形为正三角形，
所以到直线的距离为，所以，
因为，所以，所以，所以．
故选：．
结合圆的垂径定理及点到直线距离公式求出焦点到准线的距离，求出离心率即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，则，
若在上单调递增，则在上恒成立，
即恒成立，则，
解得，
当时，因为函数和在上均单调递增，
所以函数在区间上单调递增，无最小值，不符合题意，
当时，在区间上单调递增，无最小值，不符合题意，
当时，，
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为在区间上既有最大值又有最小值，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
根据函数在上单调递增，利用函数导数性质求出的取值范围，在由在区间上既有最大值又有最小值求出的取值范围，然后求交集即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了对勾函数的性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题可得四棱锥为正四棱锥，即有．
因为，所以异面直线与所成的角为，
取中点，连接、，则，所以，
所以，．
从而可以求得四棱锥的表面积和体积分别为：
，，
所以内切球的半径为．
设四棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，则，
则，解得，所以．
故选：．
依题意可得为正四棱锥，由可得异面直线与所成的角为，取中点，连接、，即可求出、，再求出四棱锥的表面积与体积，从而求出内切球的半径，再由勾股定理求出外接球的半径，即可得解．
本题考查四棱锥的外接球与内切球问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：对函数求导可得，所以，
所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即．
故答案为：．
利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程．
本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意知每节的重量构成等差数列，
设首项为，则第项为，
所以总重量为斤．
故答案为：．
根据题意，每节重量构成等差数列，由等差数列求和公式得解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，是函数的图象上的两点可知，
因为的最小值为，
故的最小值为，即，
所以，
所以，，
故．
故答案为：．
由已知可求周期，结合周期公式先求出及函数解析式，进而可求．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，．
如图所示，过作，垂足为，
因为，所以．
只要最小，满足题意，即最小，结合图形可知，与相切时，最小．
设直线的方程为．
由得，，
由，解之得或舍去，
此时，取得最大值．
故答案为：．
先根据抛物线定义转化为，再联立直线和抛物线得出切线斜率即可求出最大值．
本题考查抛物线的性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：由已知及正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
因为，由正弦定理化简得，
又，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以． 

【解析】由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；
由正弦定理化简后再由两角和正弦公式及辅助角公式化简得解．
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：在四棱锥中，底面为矩形，
，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
．
又，，，平面，
由线面垂直的判定定理可知，平面．
解：如图，

取中点为，连接，由平面，平面，
则，
又，，
所以且，平面平面，平面平面，平面，
则平面，
取中点，连接，则，
由知平面，
于是以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，，且，，
则，，，，
，，，．
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即，不妨，即，
则，即，不妨令，即，
设二面角的平面角大小为，可知是一个锐角，
则，
故二面角的余弦值． 

【解析】根据面面垂直可得线面垂直，再得线线垂直，由线面垂直的判定定理得证；
取中点为，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：甲班样本数据的平均值为：，
乙班样本数据的平均值为：，
甲班学生每周平均熬夜时间小时，乙班学生每周平均熬夜时间小时．
由题意及得，从甲班、乙班的样本中各随机抽取名学生，
的可能取值为 ，，，，．
，
，
，
，．
的分布列是：

． 

【解析】由表即可估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；
计算取不同值时的概率，即可得出的分布列和数学期望．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设椭圆的方程为．
因为过两点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
假设存在直线满足题意．
(ⅰ)当直线的斜率不存在时，此时的方程为．
当：时，，
同理可得，当：时，．
(ⅱ)当直线的斜率存在时，设的方程为，设，，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立方程组整理得，
，
由根与系数的关系，得
因为，所以．
所以，
所以，
整理得，
联立，得，此时方程无解．
由可知，不存在直线满足题意．
 

【解析】设椭圆方程为，将已知点坐标代入解方程组即可；
分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程消去，利用韦达定理表示，再根据直线与圆相切列方程，联立求解即可判断．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
 

21.【答案】解：时，则且，可得，
令，得；令，得；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，．
若存在，使成立，等价于当时，有．
因为且，
可得，
故当，即时，，则有：
当时，则在上恒成立，所以在上为减函数，
可得，故；
当时，由于在上为增函数，
故的值域为，且，
由的单调性和值域知：存在唯一，使，
且满足：当时，，则在上为减函数；
当时，，则在上为增函数；
所以，，
所以，与矛盾，不合题意；
当时，由知在上单调递增，
所以，不满足题意；
综上所述：实数的取值范围． 

【解析】求导，利用导数判断原函数的单调性；
由题意分析可得，求导，分类讨论判断原函数的单调性及最值，结合存在性问题分析运算．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为曲线的极坐标方程为，
所以，
所以．
由消去得．
故曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程．
设曲线上任意一点，
则到直线的距离为．
所以当时，． 

【解析】根据极坐标与直角坐标转化公式求直角坐标方程，消参可得直线普通方程；
根据抛物线方程，设出点的坐标，由点到直线距离公式配方后求最值．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，，解得，
当时，，解得．
当时，，解得．
综上，的解集为．
证明：由知，，所以，
要证只需证，即．
只需证，即．
由，，得故原不等式成立． 

【解析】分情况去绝对值符号进行求解；
用分析法证明．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．