2023年天津市重点中学高考数学二模试卷-普通用卷

2023年天津市重点中学高考数学二模试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设全集，或，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点在线段含端点上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为

8.  已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数的部分图像如图，将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的个数为(    )
点是图像的一个对称中心
是图像的一条对称轴
在区间上单调递增
若，则的最小值为
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.  是虚数单位，若复数为纯虚数，则        ．

11.  已知的展开式中各项系数和为，则展开式中常数项为______ ．

12.  圆与圆的公共弦所在的直线方程为______ ．

13.  甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了局的概率为______．

14.  在矩形中，，，点在边上，则向量在向量上的投影向量的长度是______，的最大值是______．

15.  设，函数，若函数在区间内恰有个零点，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，在平面四边形中，，，，，．

求和的值；
记，求的值．

17.  本小题分
如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点．
证明：平面；
点在棱上，且直线与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值；
在的条件下，求点到平面的距离．

18.  本小题分
已知椭圆：的焦距为，短轴长为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ直线：与椭圆相切于点，与两坐标轴的交点为与，直线经过点且与垂直，与椭圆的另一个交点为当取得最小值时，求的面积．

19.  本小题分
已知等差数列的前项和为，，，数列满足：，．
证明：是等比数列；
证明：；
设数列满足：证明：．

20.  本小题分
已知、，设函数的表达式为其中．
设，，当时，求的取值范围；
设，，集合，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量，，均有成立，求的取值范围；
当，，时，记，其中为正整数求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，．
故选：．
由集合的运算直接可求．
本题考查集合的交、并、补运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图所示：

长方体中，平面．
在平面内，除直线外，其他所有与平行的直线，都与平面平行，
但是平面与平面不平行；
若，根据面面平行的定义可知，平面内的直线都与平面平行．
所以“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据面面平行的定义以及判定定理，举例即可得出答案．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性的应用，属于简单题．
判断函数的奇偶性，利用时的函数值判断选项即可．
【解答】
解：函数定义域为，且，
故是偶函数，
并且时，，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：设中位数为，则，
解得：．
故选：．
根据频率分布直方图，结合中位数公式，即可求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数的估计，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，，
可得，
则，
故选：．
直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

根据对数函数和幂函数、指数函数的单调性即可得出，，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了对数函数、指数函数和幂函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

【解答】

解：，，
．
故选C．

7.【答案】 

【解析】解：设，则正四面体的高为，
因为六面体的体积为，所以，解得，

的最小值为等边三角形高的倍，即．
故选：．
设，然后求出正四面体的高，然后由体积可求得，然后由侧面展开图可求的最小值．
本题考查立体几何中，距离的最值的求解，化归转化思想，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为，
则点到抛物线的准线的距离也为，即，解得，
所以抛物线的方程为，则，
所以，即的坐标为，
又双曲线的左顶点，一条渐近线为，
而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，
则有，解得．
故选：．
由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图像可知函数的最大值为，最小正周期满足，即，
所以，，，
又点在函数的图像上，所以，
所以，即，
又，所以，，
将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图像，
再将所得函数图像向左平移个单位长度，可得的图像，
所以，
因为，
所以点不是图像的一个对称中心，是图像的一条对称轴，
故错误，正确；
当时，，
所以在区间上不单调，故错误；
若，则、分别为函数的最大值、最小值；
由函数的最小正周期为可得的最小值为，故正确．
故选：．
由三角函数的图像与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图像与性质逐项判断即可得解．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，它是纯虚数，只须．
故答案为：
复数化为的形式，它是纯虚数，则且即可求出答案．
本题是复数代数形式的运算，以及复数的分类，特别注意复数的除法运算实质是分母实数化的过程，是基础题．也是高考考点．
 

11.【答案】 

【解析】解：已知的展开式中各项系数和为，即，解得；
所以，
令，故常数项为．
故答案为：．
直接利用二项展开式和组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：联立，两式相减得．
故答案为：．
两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程．
本题主要考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．
求出甲获得冠军的概率、比赛进行了局的概率，即可得出结论．

【解答】

解：由题意，甲获得冠军的概率为，
其中，比赛进行了局的概率为 ，
则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了局的概率为，
故答案为：．

14.【答案】   

【解析】解：根据题意，画图如下：

由题意及图，可得向量在向量上的投影向量即为向量，
而，
向量在向量上的投影向量的长度是．
设，


，
，




，
当时，取得最大值，且最大值为．
故答案为：；．
先根据题意画图，利用数形结合法即可得到向量在向量上的投影向量的长度；进一步设，然后将，分别用向量，表示出来，然后根据向量的运算计算出的数量积，最后根据二次函数的性质即可得到的最大值．
本题主要考查向量的投影和最值问题．考查了数形结合思想，函数思想，向量的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：最多有个根，所以至少有个根由，
可得，
由可得．
时，当时，有个零点，即；
当，有个零点，即；
当，有个零点，即；
当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有个零点；
当时，令，则，
此时有个零点；
所以若时，有个零点．
综上，要使在区间内恰有个零点，
则应满足或或，
则可解得的取值范围是：．
故答案为：．
由最多有个根，可得至少有个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑求解即可．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了余弦函数和二次函数的性质，属于中档题．
 

16.【答案】解：在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
所以．
在中，由余弦定理得
．
所以．
因为，所以．
，．
所以． 

【解析】利用正弦定理，余弦定理求解即可；
先利用平方和关系求出，进而求，，然后用两角和的余弦公式求解即可．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，还考查了和差角，二倍角及同角基本关系，属于中档题．
 

17.【答案】解：连接，因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，．
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，则可取，
又，
则，
又平面，
所以平面．
，设，
则，
因为点在棱上，所以，，
即，则，
所以，
平面的法向量为，
因为直线与底面所成角为，
则，
解得，
所以，
设平面的法向量为，
则，则可取，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值．
，
则点到平面的距离． 

【解析】首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据，即可证明；
根据线面角的向量公式，求点的坐标，再根据二面角的向量公式，计算求值；
根据的结果，可知平面的法向量为，代入点面距离的向量公式，即可求解．
本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值以及点到平面的距离，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由题意可知，，即，，
所以，
所以的方程；
Ⅱ易知的斜率存在，所以可设的方程为，．
联立，消去，得．
因为直线与相切，所以．
即．
在轴，轴上的截距分别是，．
则．
当且仅当，即，，此时．
即，从而．
联立，消去，得，
则，解得．
所以．
故的面积为． 

【解析】Ⅰ根据椭圆的性质，即可求得椭圆方程；
Ⅱ易知的斜率存在，所以设出的方程为，联立与椭圆的方程，消去，因为直线与相切，所以，可得与的关系，从而得出直线在轴，轴上的截距，表示出的长，利用基本不等式可求得，的坐标，从而求得的面积．
本题考查了椭圆的定义与标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，及最值问题，考查计算能力，属于难题．
 

19.【答案】证明：由，得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故；
设等差数列的公差为，
则，得，
所以，，
，，

，得证．
当为奇数时，，
，
当为偶数时，，
，
设，
，
两式相减得，
得，
所以，
所以． 

【解析】根据等比数列的定义，结合递推公式，即可证明；
根据条件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化简证明；
根据数列的通项公式，分别求奇数项和偶数项的和，再分别利用裂项相消法和错位相减法求和，即可证明．
本题主要考查了等比数列的通项公式，等差数列的求和公式，还考查了错位相减求和方法的应用，不等式放缩法的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题设，则，即，
故，
又，则，即，
所以的取值范围为；
由题意，要使上的任意两个变量，，均有成立，
则只需当时，成立即可，
又在上为严格增函数，则，
且在上恒成立，
又在上单调递减，则，解得，
由且，，则在上递减，
所以，则，解得，
综上，实数的取值范围为；
证明：依题意，，且，，
令，则，
所以，
而，
，
则，
又，且，当且仅当时等号成立，
所以，
同理，，且均在时等号成立，
所以，
则，即得证． 

【解析】将，代入函数解析式，再解不等式即可；
分析可知只需当时，成立即可，利用导数求得函数的最小值和函数的最大值，综合即可得解；
令，则，则，利用二项式定理结合基本不等式可知，由此容易得证．
本题考查导数的综合运用，涉及了不等式的解法以及二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于难题．