2023年浙江省绍兴市上虞区高考数学二模试卷-普通用卷

这是一份2023年浙江省绍兴市上虞区高考数学二模试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省绍兴市上虞区高考数学二模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为(    )A.  B.  C.  D. 3.  在中，，，，则在上的投影向量的模为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知函数，在区间内取得一个最大值和一个最小值，且，，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现并采用的，一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖本质上来说，牟合方盖是两个半径相等并且轴心互相垂直的圆柱体相交而成的三维图形，如图所示刘徽发现牟合方盖后多年，祖冲之及他的儿子祖暅，推导出牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为为构成牟合方盖的圆柱底面半径图为某牟合方盖的部分，且图正方体的棱长为，则该牟合方盖的体积为(    )

 A.  B.  C.  D. 6.  已知直线与圆交于、两点，若，其中为原点，则实数的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知正数，，满足，为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，为直角梯形，，，，连，将沿翻折成三棱锥，当三棱锥外接球表面积的最小值时，二面角的余弦值为(    )

 A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  记正项等比数列的前项和为，则下列数列为等比数列的有(    )A.  B.  C.  D. 10.  某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了天的数据： 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则(    )A. 样本中心点为
B.
C. 时，残差为
D. 若去掉样本点，则样本的相关系数增大11.  声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音我们听到的声音函数是，记，则下列结论中正确的为(    )A. 在上是增函数 B. 的最大值为
C. 的最小正周期为 D. 12.  已知点，是椭圆：的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则(    )A. 的周长为 B.
C. 平分线的斜率为 D. 椭圆的离心率为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为           ．14.  已知的展开式中的常数项是第项，则正整数的值为______ ．15.  已知函数为偶函数，且，则 ______ ．16.  已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
设数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．18.  本小题分
如图，在多面体中，平面，为正三角形，为等腰，，，．
求证：；
若平面，求直线与平面所成的线面角的正弦值．
19.  本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
求的最大值．20.  本小题分
某手机公司对喜欢使用该的用户年龄情况进行调查，随机抽取了名喜欢使用该的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：
根据频率分布直方图，估计使用该视频用户的平均年龄的第分位数小数点后保留位；
若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计喜欢使用该且年龄大于周岁的人数占所有喜欢使用该的比例；
用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该的用户中随机抽取名用户，用表示这名用户中恰有名用户的年龄在区间岁的概率，求取最大值时对应的的值；
附：若随机变量服从正态分布，则：，，
 
21.  本小题分
已知抛物线：的焦点为，过点斜率为的直线与抛物线相交所截得的弦长为．
求的值并写出抛物线焦点的坐标；
设点是抛物线外任意一点，过点作抛物线的切线，切点分别为、，探究：是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22.  本小题分
设函数，其中．
当时，求函数的值域；
设，当时，
证明：函数恰有两个零点；
若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
故A．
故选：．
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：在中，，，，
则，
在上的投影向量的模为．
故选：．
根据已知条件，结合勾股定理，求出，再结合投影公式，即可求解．
本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：因为函数在区间内取得一个最大值和一个最小值，所以，
又因为，，所以，解得，
所以．
故选：．
根据函数的图象与性质，即可求出、和的值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：正方体的棱长为，圆柱的底面半径为，
又牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为，
牟合方盖的体积为．
故选：．
由正方体的棱长求出圆柱的底面半径，代入已知公式求解．
本题考查几何体体积的求法，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由，得，
化简可得，则，
故为等腰直角三角形，
又圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，即，负值舍去．
故选：．
根据题意可得为等腰直角三角形，进而得到圆心到直线的距离为，由此可得的值．
本题考查平面向量的模以及直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：对于选项A和选项B，
由，可知，，
则，构造函数，
则．
因为正数、满足，所以．
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
因为，则，
即，
所以，即．
故B选项正确：
对于选项C和选项D，
令，解得，，此时，故选项C和选项D都不正确．
故选：．
将和都用表示，再利用求导即可比大小．
本题主要考查构造函数比大小，通过求导即可判断，注意有时也可代特殊值来判断选项，属于中等题．
 8.【答案】 【解析】解：因为为直角梯形，，，．，，
所以，，，为等边三角形，为直角三角形，
设的中心为，的中点为，三棱锥外接球的球心为，

则平面，平面，因为，所以三棱锥外接球表面积的最小，
即外接球的半径最小时，即与重合，此时平面，
即平面，平面，
故平面平面，即二面角的平面角为，余弦值为．
故选：．
由题可得为等边三角形，设的中心为，的中点为，三棱锥外球的球心为，根据球的性质可得与重合时适合题意，进而即得二面角的余弦值．
本题考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
 9.【答案】 【解析】解：正项等比数列的前项和为，
对于，，是等比数列，故A正确；
对于，，是等比数列，故B正确；
对于，当公比不为时，，不是等比数列，故C错误；
对于，当公比不为时，，不是等比数列，故D错误．
故选：．
利用等比数列的定义和性质直接求解．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：，．
样本中心点为，故A正确；
把代入，得，可得，故B正确；
时，，则残差为，故C正确；
由相关系数公式可知，去掉样本点后，与的样本相关系数不变，故D错误．
故选：．
由已知求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求出的值，即可判断；求出时的预测值，结合残差的定义判断；由相关系数公式判断．
本题考查线性回归方程，考查相关系数与残差的概念，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：，，
令，在，解得，，，
根据余弦函数图像性质，可知当时，；
当时，，
所以在为增函数，在为减函数，选项错误；
，选项错误，选项正确；
令，则是偶函数，
当时，，而时，
所以，选项正确，
故选：．
对于，根据其表达式求导得出增减性和最大值；对于最小正周期就是、、、的最小公倍数，即，对于与的大小比较可通过作差求导．
本题主要考察了正弦函数求导，余弦函数图像性质，三角函数周期，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：点关于平分线的对称点在直线上，
又点关于平分线的对称点也在椭圆上，
所以点为直线与椭圆的交点，故的周长为，故A正确；
设的平分线交于点，
则，
所以，而，
设，则，于是，
所以，
所以，故B正确；
在，由余弦定理可得：，
则，则，所以，故D正确；
不妨设点在轴上方，由题意可知，点在椭圆的下顶点处，则，
，
设直线的倾斜角为，则，
由对称性知平分线的斜率为或，故C不正确．
故选：．
由分析知点为直线与椭圆的交点，故的周长为，可判断；设，由椭圆的定义和角平分线定理求出，可判断；由余弦定理可判断；点在轴上方，设直线的倾斜角为，由两角差的正切公式求出可判断．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】【分析】
设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为进而求得和的关系，进而根据求得和的关系，则双曲线的离心率可得．
本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生转化和化归思想和对双曲线基础知识的把握．【解答】解：设双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为，
两条渐近线互相垂直，
，
，
，
，
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：二项展开式的通项公式为，
由题意，，，
故答案为
利用二项展开式的通项公式求出通项，令的指数为，，可求．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
 15.【答案】 【解析】解：为偶函数，
，即关于对称，
则，
由，得函数关于对称，
令，得，得，
则，
即，
即，
得，即是周期为的周期函数，
令，由得，，即，
，
故答案为：．
根据函数奇偶性和对称性，判断函数是周期为的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性，求出函数的周期性是解决本题的关键，是中档题．
 16.【答案】 【解析】解：设，，则，此时，
则，
令，
当时，，
记，则，所以在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，所以的最大值为．
故答案为：．
设，，即可求出，继而求出的表达式，将看作主元，配方得，记，即可求解最大值．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 17.【答案】解：因为数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，
当时，；
当时，，
因为满足上式，所以．
，
当为偶数时，
；
当为奇数时，，
综上，． 【解析】易得，利用即可求得数列的通项公式；
分为偶数和为奇数两种情况，结合分组求和法与等比数列的前项和公式，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式，等比数列的前项和公式，利用求通项公式，分组求和法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：设为中点，连接，，则由为正三角形，
得；
平面，且为等腰为直角三角形，计算可得：，
，
则面，
平面，
．
建立空间坐标系如图：则，，，，，，
由，得，
平面，令，
可得，解得，或，
当时，，重合，不满足条件．则，此时，
设平面的法向量为，
则，代入得，令，则，，
由于，不妨设所成角为，则，，
即直线与平面所成的线面角的正弦值为． 【解析】根据线面垂直的性质，证明平面面即可．
建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查空间直线垂直的证明以及线面角的计算，利用线面垂直的性质以及建立坐标系，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 19.【答案】解：由余弦定理得：，
，所以上式；
由得，
，
，，，为三角形内角，
，当且仅当时等号成立，
最大值为． 【解析】由正、余弦定理结合题意化简即可得出答案；
由题意可得，再由两角差的正切公式结合基本不等式即可得出答案．
本题考查正余弦定理，考查基本不等式，属于中档题．
 20.【答案】解：由直方图可知，第分位数位于区间，
第分位数为；
，
，
，
使用该且年龄大于周岁的人数点所有喜欢使用该的；
根据题意，
要使取最大值，则，
即，解得．
因为，所以． 【解析】结合频率分布直方图和百分位数的定义即可求解；
利用正态分布的性质即可求解；
利用二项分布的概率公式和二项式系数的最值列不等式组，解之即可．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
 21.【答案】解：直线斜率，设直线方程为，与抛物线交点为，，
抛物线的准线方程为，
代入整理得，
则，
，，
则抛物线方程为，焦点坐标
假设符合条件的等腰直角三角形存在，则设，，则由导数得切线：，
：，联立解得点，
设线段的中点为，则，且，，，，
由，得，
得，
即，
即，
整理得，得，
，
，即，
代入得，
即，即，解得或，
即存在点或． 【解析】设出直线方程，联立方程，利用弦长公式进行求解即可．
假设符合条件的等腰直角三角形存在，根据等腰直角三角形的定义，分别求出直角边的斜率，利用垂直的斜率关系进行求解即可．
本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，联立方程，利用抛物线的弦长公式以及直线垂直的性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 22.【答案】解：当时，，则函数的定义域为，
则，
由得，此时函数为增函数，
由，得，此时函数为减函数，则当时，函数取得最大值．
当时，，当，，
故函数的值域为
证明：，定义域为，
则，
令，
则由可知，在上单调递减，且，，
而，，
存在唯一的使得，于是在上单调递增，在上单调递减，
从而  
由，可知，
，
，，
在，都各有一个唯一的零点，故F恰好有两个零点．
由题意得，由于，要证，即证，
，令，则，
，
，，
于是在上单调递减，故，
即，
即． 【解析】当时，求出函数的解析式，求函数的导数，研究函数的单调性和最值，即可求出函数的值域．
求出函数的解析式，求函数的导数，研究函数的单调性和最值，然后利用放缩法进行证明即可．
本题主要考查导数的综合应用，求出函数的解析式和导数，利用函数单调性和导数之间的关系，利用不等式的放缩法进行证明是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．