福建省重点中学三校协作2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题及答案解析

这是一份福建省重点中学三校协作2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题及答案解析，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省重点中学三校协作2022-2023学年第二学期联考高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（    ）A.  B.  C.  D. 3. 在平面四边形中，是的中点，则（    ）A.  B. C.  D. 4. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，则 D. 若，则5. 在中，若，则最大角和最小角之和为（    ）A.  B.  C.  D. 6. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（    ）（注：1丈=10尺）A. 立方尺 B. 立方尺 C. 3892立方尺 D. 11676立方尺7. 某市有一宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示．为了测量宝塔的高度，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房作为参照物，楼房高为，在楼顶A处测得地面点处的俯角为，宝塔顶端处的仰角为，在处测得宝塔顶端处的仰角为，其中在一条直线上，则该宝塔的高度（    ）  A.  B. C.  D. 8. 若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 已知向量，，下列说法正确的是（    ）A.  B. C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为10. 如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确是（    ）  A.  B. 平面C.  D. 点B，D到平面的距离不相等．11. 已知点是所在平面内一点，下列命题正确的是（    ）A. 若，则点是的重心B. 若点是的外心，则C. 若，则点是垂心D. 若点是的垂心，则12. 如图，正方体的棱长为，点是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（    ）  A. 若四点共面，则点的运动轨迹长度为B. 若，则点的运动轨迹长度为C. 若，则点运动轨迹长度为D. 若直线与所成的角为，则点的运动轨迹长度为第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若复数为一元二次方程的一个根，则_____ ．14. 在长方体中，，，则异面直线与所成角余弦值为______．15. 已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为，下底面的半径为，则该球的体积为_________．16. 记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时，_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17. 已知复数．（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．（2）若复数，求的共轭复数．18. 已知向量满足，，．（1）求向量的夹角的大小；（2）设向量，若的夹角为锐角，求实数k的取值范围．19. 如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面ABCD，且  （1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积．20. 在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并解答．①；②；③．问题：在中，内角的对边分别为，为的面积，且满足     ．（1）求角的大小；（2）若，平分，交于点，求的长．21. 如图所示，三棱台中，底面，． （1）证明：是直角三角形；（2）若，问为何值时，直线与平面所成角正弦值为？22. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知．（1）求的面积；（2）点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于．若，求的值．   答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义及模长公式计算即可.【详解】由题意得，则，故选：C2. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由圆锥的特征及扇形的弧长公式计算即可.【详解】由圆锥的特征可知圆锥的侧面展开图形成的扇形弧长为底面圆的周长，则该弧长为，又，由扇形的弧长公式可知：圆锥的母线长为.故选：B3. 在平面四边形中，是的中点，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由平面向量的线性运算结合图形的几何性质计算即可.【详解】  由是的中点，且可得，即四边形为平行四边形，由，故，故选：A4. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判定即可.【详解】  如图所示，正方体ABCD-EFGH，若平面ABCD为，EF为直线l，FG为直线m，显然，而，即A错误；若平面ABCD为，EF为直线l，DC为直线m，显然，，而，即B错误；若平面ABCD为，EA为直线l，DC为直线m，显然，而，即C错误；对于D项，过m作面，由面面平行与线面垂直的性质可知，而，故，即D正确；故选：D5. 在中，若，则最大角和最小角之和为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，推出三条边比值，通过余弦定理求解中间角的大小，即可得出结果.【详解】由正弦定理得，，所以最大角为，最小角为，所以设，，则由余弦定理得，，又，所以，.故选：D6. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（    ）（注：1丈=10尺）A. 立方尺 B. 立方尺 C. 3892立方尺 D. 11676立方尺【答案】C【解析】【分析】由棱台的特征及其体积公式计算即可.【详解】  如图所示，由四棱锥I-ABCD截得棱台ABCD-EFGH，W、X分别为上下底面的中心，即IX为棱锥的高，WX为棱台的高，由题意可知棱台上下底面均为正方形，故其上下底面面积分别为，则，棱锥的高，由棱台的性质可知，所以棱台的高.故（立方尺）.故选：C7. 某市有一宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示．为了测量宝塔的高度，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房作为参照物，楼房高为，在楼顶A处测得地面点处的俯角为，宝塔顶端处的仰角为，在处测得宝塔顶端处的仰角为，其中在一条直线上，则该宝塔的高度（    ）  A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由已知条件解三角形得CM，再解求CD即可.【详解】，在中，易得，在中，易得，由正弦定理得：，在中，.故选：B8. 若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，由题意设，根据数量积的坐标运算结合三角函数求最值即可.【详解】由题知，以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，  则，，由题意设，则，，，，，可得.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 已知向量，，下列说法正确的是（    ）A.  B. C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为【答案】AD【解析】【分析】利用向量的坐标表示逐一判断即可.【详解】选项A：，，所以，A正确；选项B：，所以，B错误；选项C：，所以与向量平行的单位向量是或，C错误；选项D：向量在向量上的投影向量为，D正确；故选：AD10. 如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（    ）  A.  B. 平面C.  D. 点B，D到平面的距离不相等．【答案】BC【解析】【分析】由平行线分线段成比例可判断A；由线面平行的判定定理和性质定理可判断B；由线线平行和垂直的性质可判断C；由线面平行性质可判断D.【详解】在四面体中,若截面是正方形,可得平面平面,可得平面又平面，而平面平面,可得又平面,面，则平面,故B正确；同样可得平面,所以点B，D到平面的距离相等，故D错误；由,可得,故C正确；由,且,但不一定与相等,故,不一定相等,故A错误.故选：BC11. 已知点是所在平面内一点，下列命题正确的是（    ）A. 若，则点是的重心B. 若点是的外心，则C. 若，则点是的垂心D. 若点是的垂心，则【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形重心、外心、垂心的性质，结合向量数量积的运算，根据选项逐个验证可得答案.【详解】对于A，取的中点，则，因为，所以，即点在中线上；同理可得点在中线上，所以点是的重心，A正确.  对于B，设为的中点，因为点是的外心，所以;，B不正确.  对于C，因为，所以，即点在边上的高线上，同理可得点也在边上的高线上，所以点是的垂心；C正确.对于D，因为，即.因为点是的垂心，所以，所以，所以存在，使得，D正确.故选：ACD.12. 如图，正方体的棱长为，点是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（    ）  A. 若四点共面，则点的运动轨迹长度为B. 若，则点的运动轨迹长度为C. 若，则点的运动轨迹长度为D. 若直线与所成的角为，则点的运动轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】根据各项分别确定点的轨迹即可求解.【详解】对于A，因为，所以确定一个平面，而不共线的三点在这个平面内，所以确定的平面即为平面，故点在上，即点的轨迹为，，故A正确；  对于B，连接，因为在正方体中，所以平面，而平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可证，又平面，所以平面，故当时，点在上，即点的轨迹为，，故B正确；对于C，因为在正方体中，所以平面，而平面，所以，所以，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则轨迹长度为，故C错误；对于D，因为，直线与所成的角为，所以与所成的角为，即，所以在直角中，，所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，则轨迹长度为，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若复数为一元二次方程的一个根，则_____ ．【答案】6【解析】【分析】把复数代入，根据复数相等可求答案.【详解】因为复数为一元二次方程的一个根，所以，整理得，所以且，解得，所以.故答案为:6.14. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】##【解析】【分析】根据已知作出图形，利用异面直线所成角的定义及余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，连接,如图所示，在长方体中，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.所以角为异面直线与所成的角.又因为，，所以,中，由余弦定理得,异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.15. 已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为，下底面的半径为，则该球的体积为_________．【答案】【解析】【分析】在轴截面梯形中，，，，然后利用，求出母线长，再由可求出球的半径，从而可求出球体的体积.【详解】  如图，在轴截面梯形中，，，设球的半径为,M为球与圆台的一个切点，.因为，,即得，解得.又因为，即，所以，，所以该球体的体积为.故答案为：16. 记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时，_______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答.【详解】由题意得，因为，则，由余弦定理，所以即，即，则，而函数在上单调递增，即当a最小时，的周长最小，显然，当且仅当时取“=”，此时，所以当的周长取到最小值时，．故答案为：【点睛】关键点点睛：求的周长取到最小值时先将周长表达为变量的函数，根据函数的单调性确定当且仅当取最小值时周长最小，再用基本不等式求取最小值时的取值.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17. 已知复数．（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．（2）若复数，求的共轭复数．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先化简，再根据对应的点在第四象限列出限制条件，求解不等式可得答案；（2）先化简，再根据共轭复数的概念求解.【小问1详解】因为,所以因为复数在复平面上对应的点在第四象限，所以 ，所以，即实数的取值范围为【小问2详解】，所以.18. 已知向量满足，，．（1）求向量的夹角的大小；（2）设向量，若的夹角为锐角，求实数k的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用向量的模公式及向量的夹角公式即可求解；（2）根据向量夹角与向量数量积的关系即可求解.【小问1详解】由，两边平方得，∵，，，解得，,，  .【小问2详解】向量的夹角为锐角，等价于且方向不同． 所以,解得，若方向相同，设，，∵不共线，，解得， 综上所述，的取值范围是.19. 如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面ABCD，且  （1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）可以通过作辅助线结合中位线得到线线平行证明线面平行或者通过证明面面平行得到线面平行；（2）先求三棱锥的体积，得到三棱锥的体积，利用几何体的分割可得答案.【小问1详解】证法一：连接AC交BO于点，连接．，∴四边形为平行四边形,∴是的中点；∵中，是的中点,；∵ 平面，平面，∴ 平面.  证法二：中，分别是的中点，，又平面，平面,平面 ， 且，∴四边形是平行四边形， ，又平面，平面,平面;，平面,∴平面平面，∵平面，平面.【小问2详解】连结，，  由中，，得，,∴ 的面积;又平面，,∴三棱锥的体积为;
∵是的中点， , ∴.20. 在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并解答．①；②；③．问题：在中，内角的对边分别为，为的面积，且满足     ．（1）求角的大小；（2）若，平分，交于点，求的长．【答案】（1）任选一条件，都有    （2）【解析】【分析】（1）若选①：根据已知条件及正弦定理边角化，利用辅助角公式及三角函数的特殊值对应的特殊角，注意角的范围即可求解；若选②：根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用正弦定理角化边及余弦定理的推论，结合三角函数的特殊值对应的特殊角，注意角的范围即可求解；若选③：根据已知条件及三角形的面积公式，利用向量的数量积的定义及同角三角函数的商数关系，结合三角函数的特殊值对应的特殊角，注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，利用余弦定理及等面积法即可求解.【小问1详解】若选①，由及正弦定理，得,中，，，中，，，，  .若选②：由， 得，，由正弦定理得，， ， 若选③：由，又，，，， ，  【小问2详解】由（1）知，,所以，解得，由余弦定理得 ，又，，，，由平分，及，得，，.21. 如图所示，三棱台中，底面，． （1）证明：是直角三角形；（2）若，问为何值时，直线与平面所成角正弦值为？【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）结合棱台的特征及条件先证得平面，由即可得结论；（2）作，先证为直线与平面所成角，设边长，结合条件解直角三角形得出含参表示的边长，作商即可解得.【小问1详解】∵平面，平面，∴又，，平面，∴平面，∵三棱台中， ∴平面，又平面，，故是直角三角形．【小问2详解】在平面内作，垂足为，连接．由（1）知，平面，又平面，，，平面，平面，是在平面上的射影，即为直线与平面所成角．设，则，，∵三棱台中，，，．在中，，，在中，，解得．∴ 当时，直线与平面所成角的正弦值为．22. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知．（1）求的面积；（2）点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于．若，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）法一、由正弦定理得，由AD为中线得，结合三角形面积公式可得，从而由正弦的和角公式得，求面积即可；法二、由正弦定理得，在和中，由正弦定理作商得的正余弦值，从而由正弦的和角公式得，求面积即可；法三、设，利用平面向量的数量积公式可求得，解方程求得的余弦值，继而可得.（2）设，利用向量共线的充要条件可得结合得，，从而可得两个三角形面积之比.小问1详解】法一：由及正弦定理得：又∵是边上的中线，，即易知为锐角，，；（法二）由及正弦定理得：，在中，由正弦定理得 ①，在中，设，由正弦定理得②，①②得，  易知为锐角，，；（法三）：由及正弦定理得：，设，∵AD为边上的中线，∴，则， ，， ∴，整理得，即，∴ 或 ， 经检验，符合题意，∴， ∴．【小问2详解】设∵D为BC的中点，，，又E、G、F三点共线，所以，即③又，，由（1）知，，化简得④，  由③④，得，，  ∴.【点睛】思路点睛：第二问以为基底，设利用向量共线充要条件即：若三点共线，则平面中任一点，有，有，故得出的一个关系式，再结合得出的另一个关系式，解方程组求出，再计算面积比值即可.