2023年高考数学三模试题分项汇编（新高考专用）专题15 计数原理，概率，随机变量及其分布列（选填题）（解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15684" 题型一：排列组合综合 PAGEREF _Tc15684 \h 1
\l "_Tc25632" 题型二：二项式定理 PAGEREF _Tc25632 \h 5
\l "_Tc18070" 题型三：互斥、对立、独立事件的判断 PAGEREF _Tc18070 \h 9
\l "_Tc9600" 题型四：概率综合 PAGEREF _Tc9600 \h 11
\l "_Tc5007" 题型五：二项分布 PAGEREF _Tc5007 \h 18
\l "_Tc4075" 题型六：正态分布 PAGEREF _Tc4075 \h 19
\l "_Tc21101" 题型七：新定义，新文化题 PAGEREF _Tc21101 \h 22
题型一：排列组合综合
1．（2023·安徽铜陵·统考三模）若有4名女生和2名男生去两家企业参加实习活动，两家企业均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案有（ ）种
A．20B．28C．32D．64
【答案】B
【详解】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有种分配方案；
再安排4名女生，若将每个女生随机安排，共有种分配方案，
若女生都在同一小组，共有种分配方案，
故保证每个小组都有女生，共有种分配方案；
所以共有种分配方案.
故选：B.
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种.
A．144B．72C．36D．24
【答案】A
【详解】由题意可将甲､乙两人看作一个整体，和除甲乙丙丁外的其余两人全排列，
有种排法，再从这3人（甲乙看作一个人）排好后形成的4个空中选2个排丙､丁，
故共有种站法，
故选：A
3．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（ ）
A．96种B．24种C．48种D．12种
【答案】B
【详解】因为①③⑤着相同的颜色，可以有种，②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外两种颜色，故有种，所以共有24种.
故选：B
4．（2023·湖南永州·统考三模）在二项式的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
【详解】解：因为二项展开式的通项为，
又因为，
所以当或时，为有理项，
所以有理项共有2项，其余5项为无理项，
先排5项为无理项，共有种排法，再排2项有理项，共有种排法，
所以有理项互不相邻的排法总数为：种.
故选：A.
5．（多选）（2023·吉林·统考三模）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（ ）
A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法
B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法
C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法
D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法
【答案】AD
【详解】对选项A, 依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有种．所以该选项正确；
对选项B, 依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有种．所以该选项不正确；
对选项C, 依题意，要从7名同学中选取4人，一共有种，而甲乙都不在内一共有种，
甲与乙至少要有1人在内有种．所以该选项错误；
对选项D, 依题意，假设全是男生一共有种，全是女生的情况没有，
既有男生又有女生一共有种．所以该选项正确.
故选：AD
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）将五个1､五个2､五个3､五个4､五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列任何两数之差的绝对值不超过2.设每列中五个数之和的最小值为，则的最大值为__________.
【答案】
【详解】
依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，确定的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故，故；
(3)若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故，故；
(4)若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，；
另一方面，如上表的例子说明可以取到10.故的最大值为.
故答案为:.
7．（2023·山西晋中·统考三模）从0，1，2，⋯，9这10个数字中任取三个数，使这三个数的和是3的倍数，则不同的取法有_________种．（用数字作答）
【答案】42
【详解】将这些数字分组，记，，，
从而和为3的倍数的情况共有种．
故答案为：42
8．（2023·山西阳泉·统考三模）在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．某国际救援团队拥有6个医疗小组和8个抢险小组，现分别去两个受灾点执行救援任务，每个救援点至少需要2个医疗小组和4个抢险小组，则不同的分配方式一共有________种．（用数字作答）
【答案】3500
【详解】第一步分配医疗小组，先按2：4或3：3分两组再分配到两个受灾点，共有；
第二步分配抢险小组，只能按4：4分组再分配到两个受灾点，共有，
因此，共有种，
故答案为：3500
9．（2023·安徽·校联考三模）某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．
【答案】14
【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为．综上，不同的安排种数为14．
故答案为：.
10．（2023·吉林长春·统考三模）将圆分成个扇形，每个扇形用红、黄、蓝、橙四色之一涂色，要求相邻扇形不同色，设这n个扇形的涂色方法为种，则与的递推关系是______．
【答案】（）
【详解】
如上图所示，由题意，将圆分成个扇形，涂色方法有种，
若假设第个扇形与第个扇形不相邻，如下图所示：
则为第个扇形涂色，有种方法，为第个扇形涂色，有种方法，为第个扇形涂色，有种方法，…，为第个扇形涂色，有种方法，
故由分步乘法计数原理，涂色方法共有种，
其中，包括了第个扇形与第个扇形颜色不同的方法种，与第个扇形与第个扇形颜色相同的方法种，即，
而第个扇形与第个扇形颜色相同的涂色方法种，可以看作将第个扇形与第个扇形合并为一个扇形，如下图所示：
即个扇形的涂色方法（为使满足题意，需使，即），
综上所述，（），
∴与的递推关系是（）.
故答案为：（）.
题型二：二项式定理
1．（2023·辽宁沈阳·统考三模）的展开式中，含项的系数为（ ）
A．430B．435C．245D．240
【答案】B
【详解】，
展开式的通项为，
令，则，令，则，令，则，
所以项的系数为.
故选：B.
2．（2023·重庆·统考三模）二项式展开式的第r项系数与第r＋1项系数之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为展开式的通项公式为，
则第r项系数为，第r＋1项系数为，
所以.
故选：B
3．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）的展开式中二项式系数最大的项是________.
【答案】/
【详解】的二项展开式有7项，其二项式系数为，由组合数的性质可知最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是.
故答案为：
4．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知的展开式中含项的系数为1024，则______．
【答案】2
【详解】因为的通项公式为，
所以的展开式中含项为．
，得.
故答案为：2
5．（2023·安徽铜陵·统考三模）的展开式中的系数是______.
【答案】672
【详解】展开式通项公式为，
当时，，
当时，，
故的展开式中的系数为.
故答案为：672
6．（2023·浙江温州·统考三模）展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）
【答案】
【详解】展开式通项公式，
令，解得，则，
所以展开式的常数项是.
故答案为：
7．（2023·安徽黄山·统考三模）将展开后按的升幂排列，则第3项为____________.
【答案】
【详解】的通项公式为，
展开后按的升幂排列，则第3项即为含的项，
，
令，则，令，则，
所以的系数为：.
故答案为：
8．（2023·湖北·校联考三模）展开式中一次项的系数是___________．（请填具体数值）
【答案】11
【详解】的展开式的通项公式为，
而，
令，得；令，得.
所以的展开式中一次项系数为.
故答案为：
9．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）的展开式中含的项与含的项系数相等，则___________.
【答案】
【详解】由的展开式的通项为，
令，可得；
令，可得，
因为展开式中含的项与含的项系数相等，可得，
又因为，所以.
故答案为：.
10．（2023·江苏南通·三模）已知，则__________.
【答案】
【详解】解： 因为，
所以，
令，得，
又，即，
令 ，两边相加得：，
故答案为：
11．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）展开式中的系数为______.
【答案】135
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，
所以含的项的系数为.
故答案为：135.
12．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）在的展开式中x的系数为______．
【答案】
【详解】的展开式中x的项为
，
所以展开式中的系数为．
故答案为：.
题型三：互斥、对立、独立事件的判断
1．（多选）（2023·湖北·校联考三模）A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（ ）
A．若A，B为互斥事件，则B．若A，B为互斥事件，则
C．若A，B是相互独立事件，D．若，则
【答案】ACD
【详解】A：由A、B是互斥事件，故，正确．
B：由知：，不正确．
C：由于A，B是相互独立事件，，
，正确．
D：，则，
，正确．
故选：ACD
2．（多选）（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则
B．若A与B互斥，则
C．若，则A与B相互独立
D．若A与B相互独立，则
【答案】BD
【详解】解：对于A，因为，，，所以，故A错误；
对于B，因为与互斥，所以，故B正确；
对于C，因为，即，所以，又因为，所以，故C错误；
对于D，因为与相互独立，所以与相互独立；因为，所以，所以，故D正确.
故选：BD
3．（多选）（2023·辽宁大连·统考三模）有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是（ ）
A．E与G是互斥事件
B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．F与G不是互斥事件
D．G与I是互斥事件
【答案】BC
【详解】对于A选项，、事件有可能同时发生，不是互斥事件；
对于B选项，与不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；
对于C选项，与可以同时发生，不是互斥事件；
对于D选项，与也可以同时发生，不是互斥事件.
故选：BC.
4．（多选）（2023·山西晋中·统考三模）下列各式中能够说明随机事件A与随机事件B相互独立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】，
，不能说明随机事件A与随机事件B相互独立，故A不正确；
，,
，化简得,
即随机事件A与随机事件B相互独立，故B正确；
，，即，随机事件A与随机事件B相互独立，故C正确；
，，由于不一定相等，不能说明A,B事件相互独立，故D不正确.
故选：BC
题型四：概率综合
1．（2023·湖北·校联考三模）李明到达了一个由6个进站口排列在一条直线上且相邻两进站口间隔100米的一个机场，他的进站口被随机安排为6个进站口之一，李明到达他的进站口之后，又被告知进站口被随机改为其他5个进站口之一，则他需要走不超过200米便可到达新的进站口的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A，B，C，D，E，F表示六个进站口，李明若先到A进站口，不超过200米的进站口有B和C，此时符合条件的概率为，
同理先到B，C，D，E，F的符合条件的概率分别为，，，，，
故所求概率为.
故选：B．
2．（2023·安徽·校联考三模）如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设事件A为系统正常工作，事件B为只有M和正常工作，
因为并联元件、能正常工作的概率为，
所以，又，
所以．
即只有M和正常工作的概率为.
故选：C．
3．（2023·湖南郴州·统考三模）篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为，
由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：
只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，
则概率为，
故选：D
4．（2023·吉林·统考三模）“甲流”是甲型流感的简称，是由甲型流感病毒感染引起的急性呼吸道传染病，可呈季节性流行，北半球多在冬春季节发生．近期，我国多地纷纷进入“甲流”高发期，某地两所医院因发热就诊的患者中分别有被确诊为“甲流”感染，且到A医院就诊的发热患者人数是到B医院的三倍．现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未感染“甲流”的概率是（ ）
A．0.78B．0.765C．0.59D．0.235
【答案】B
【详解】设到A医院就诊的发热患者人数是3m，则到B医院就诊的发热患者人数是m，
两所医院因发热就诊的患者中分别有被确诊为“甲流”感染，
则从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，
则此人未感染“甲流”的概率是，
故选：B
5．（2023·河北唐山·统考三模）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设事件表示从第一箱中取一个零件，事件表示取出的零件是次品，
则，
故选：D
6．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知两个事件，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若为相互独立事件，则
B．若，则
C．
D．
【答案】ABC
【详解】若为相互独立事件，则，
，故A正确；
若，由A选项可知，，
所以，故B正确；
，，而，
所以，故C正确；
，，
，故D不正确.
故选：ABC.
7．（多选）（2023·江苏·统考三模）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】对于A：，，
所以，故A错误；
对于B：，，∴，
，故B正确；
对于C：，，∴，故C正确.
对于D：，
，∴，∴，
∴，所以D正确.
故选：BCD.
8．（多选）（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）已知数列的前n项和为，且或的概率均为．设能被3整除的概率为，则（ ）
A．B．
C．D．当时，
【答案】BC
【详解】由题意可知：或，则或，即，故；
∵，则被3整除的余数为0，1，2，
若被3整除的余数为0，由或，可得不能被3整除；
若被3整除的余数为1，则取，可得被3整除；
若被3整除的余数为2，则取，可得被3整除；
综上所述：，
可得，且，
故数列是以首项，公比的等比数列，
则，故.
可得，，，
A错误，B、C正确；
当为偶数时，则为奇数，可得，故；
当为奇数时，则为偶数，可得，故；
可得当时，不成立，故D错误.
故选：BC.
9．（多选）（2023·福建泉州·统考三模）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则（ ）
A．B．数列为等比数列
C．D．当时，越大，越小
【答案】ABC
【详解】记玩家第次抽盲盒并抽中奖品为事件，
依题意，，，，，
对于A选项，，A对；
对于B选项，，
所以，，所以，，
又因为，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，B对；
对于C选项，由B选项可知，，则，
当为奇数时，，
当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以，.
综上所述，对任意的，，C对；
对于D选项，因为，则数列为摆动数列，D错.
故选：ABC.
10．（2023·辽宁·校联考三模）A，，，，共5名同学站成一排，则A，必须相邻，，不能相邻的概率为______.
【答案】/.
【详解】所有可能性为，将A，看成整体，若A，在队首，则，只能排第2和第4，情况数为；
若A，在队尾，则，只能排第1和第3，情况数为；
若A，在第2，则，只能排第1和第4，或第1和第3，情况数为；
若A，在第3，则，只能排第1和第4，或第2和第4，情况数为.
综上，满足题意的排法情况数为：.则相应概率为：.
故答案为：
11．（2023·山西运城·统考三模）2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.
【答案】
【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：
（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为种；
（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为种，
即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为.
若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为，
故所求的概率为.
故答案为：
12．（2023·湖南邵阳·统考三模）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.
【答案】/0.6
【详解】由题意，
袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，
不放回地依次随机摸出2个球，
∴第1次可能摸到1白色球或1红色球
∴第2次摸到红色球的概率为：，
故答案为：.
13．（2023·安徽马鞍山·统考三模）甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作，每人只能选一个社区，则甲、乙选到同一个社区的概率为________．
【答案】/0.25
【详解】设4个社区分别为A、B、C、D，
由题意，每名同学去A、B、C、D这4个社区任意一个的事件相互独立，甲同学有4中情况，乙同学也有4中情况，根据分布乘法共有种情况.
如甲乙到同一社区，则有A、B、C、D，4个社区中选择一个共4种情况.
故甲、乙选到同一个社区的概率为，
故答案为：.
14．（2023·湖北·校联考三模）袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________．
【答案】/0.4
【详解】有两种情况：
①甲摸到红球乙再摸到红球得概率为：
②甲摸到白球乙再摸到红球得概率为：，
故乙摸到红球的概率．
故答案为：
15．（2023·浙江温州·统考三模）一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________.
【答案】
【详解】由题意，，，
则；
，，
则；
故答案为：.
16．（2023·湖南永州·统考三模）现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.
【答案】
【详解】因为生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，
且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，
所以抽到不合格品的概率为：.
故答案为：.
题型五：二项分布
1．（多选）（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量，下列说法中正确的是（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
【答案】BCD
【详解】A选项：因，所以，故A错误.
B选项：，故B正确.
C选项：，故C正确.
D选项：，，故D正确.
故选：BCD.
2．（2023·辽宁大连·统考三模）已知随机变量，且，则__________.
【答案】
【详解】因为随机变量，且，
则，解得：，
.
故答案为：.
3．（2023·江苏南通·三模）随机变量，则__________.
【答案】/
【详解】因为随机变量，
所以，
所以，
所以标准差，
故答案为：.
题型六：正态分布
1．（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，16），且，则（ ）
A．该校高二男生的平均身高是175cm
B．该校高二男生身高的方差为4
C．该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%
D．从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等
【答案】AD
【详解】对选项A：在中，为平均数，正确；
对选项B：方差为，错误；
对选项C：，则身高超过的概率，错误；
对选项D：正态曲线关于直线对称，所以身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等，正确；
故选：AD
2．（多选）（2023·湖南郴州·统考三模）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．对于独立性检验的值越大，说明两事件相关程度越大.
B．若随机变量，则
C．若，则
D．已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为，则新的回归方程为
【答案】BCD
【详解】选项A，对于独立性检验的值越大，说明这两事件具有相关性的把握越大，错误；
选项B，，，正确；
选项C，，则，，正确；
选项D，把代入回归直线方程，得，
剔除两个样本点和后，新的平均数，
又新的回归直线的斜率为，即，则，解得，
则新的回归方程为，正确；
故选：BCD
3．（多选）（2023·辽宁沈阳·统考三模）下列命题中正确的是（ ）
A．已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5
B．已知随机变量，且，则
C．已知随机变量，则
D．已知经验回归方程，则y与x具有负线性相关关系
【答案】ABD
【详解】对于A选项，，第3个和第4个数的平均数为，故A正确；
对于B选项，，故B正确；
对于C选项，，则，故C错误；
对于D选项，，可得y与x具有负线性相关关系，可知D正确．
故选：ABD．
4．（2023·重庆·统考三模）已知随机变量，若，则______．
【答案】/
【详解】由已知可得，，
根据正态分布的对称性可得，，
所以，.
故答案为：.
5．（2023·浙江·校联考三模）已知随机变量服从正态分布，若，则_____________．
【答案】
【详解】，为正态分布曲线的对称轴，
由得：.
故答案为：.
6．（2023·福建泉州·统考三模）设随机变量，若，则____________．
【答案】/
【详解】因为随机变量，且，
所以，.
故答案为：.
题型七：新定义，新文化题
1．（2023·安徽黄山·统考三模）为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把称为“祖率”，某教师为了增加学生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到小于的不同数有（ ）个
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意先排十分位必为1，一种方法，再排百分位可以为1或2，两种方法，最后排其余后面的数位，余下的五个数字全排列即可，即不同种数有.
故选：C
2．（2023·安徽马鞍山·统考三模）据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具．算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空．如下图所示：
如：10记为，26记为，71记为．现有4根算筹，可表示出两位数的个数为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】C
【详解】由题意知，共有4根算筹.
当十位1根，个位3根，共有2个两位数；
当十位2根，个位2根，共有4个两位数；
当十位3根，个位1根，共有2个两位数；
当十位4根，个位0根，共有2个两位数，
所以一共有10个两位数.
故选：C.
3．（2023·山西晋中·统考三模）田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为，，，
齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，.
由题意可知，可能的比赛有方案有：
，，，，，，，，，共9种，
其中田忌可以获胜的事件为，，，共3种，
则田忌的马获胜的概率为.
故选：A.
1
1
1
4
5
1
1
2
4
5
2
2
2
4
5
3
3
2
4
5
3
3
3
4
5