2024届高考数学-第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题（解析版）

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第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题 参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是　　A． B． C． D．2【解答】解：如图所示，设线段的中点为，连接．设椭圆的右焦点为，连接．则．又，．设，在中，，．故选：．2．如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为　　A． B． C． D．以上三种可能都有【解答】解：将点置于第一象限．设是双曲线的右焦点，连接、分别为、的中点，．又由双曲线定义得，，．故．故选：．3．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则等于　　A． B． C． D．【解答】解：如图所示，设是双曲线的右焦点，连接．点，分别为线段，的中点，由三角形中位线定理得到：，，连接，因为是圆的切线，则，在中，，，．．故选：．4．设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，已知是和的等差中项，且，则该双曲线的离心率为　　A．1 B． C． D．【解答】解：设，，由是和的等差中项，，则点在的右支上，，，即，，，由余弦定理可知：，，整理得，由，，由，解得：，曲线的离心率为，故选：．5．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：如图，延长，，交于点，是平分线，且，，为中点，连接，为中点，为中点在椭圆中，设点坐标为，则，，点在椭圆上，，，又当时，不成立，．故选：．6．设，是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为　　A．定值 B．定值 C．定值 D．不确定，随点位置变化而变化【解答】解：过点作的垂线，垂足为，交的延长线于，由三角形为等腰三角形，可得为的中点，由双曲线的定义可得，由三角形的中位线定理可得，故选：．7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线与椭圆相切于点，椭圆的焦点为，，由光学性质知直线，与的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为　　A． B． C． D．【解答】解：由光学性质知直线，与的夹角相等，则的角平分线所在的直线为法线，即与直线垂直的直线，而直线，所以设所求的直线的方程为，联立，整理可得：，解得，代入直线的方程可得，可得，即，将代入所求的直线方程可得：，可得，所以的角平分线所在的直线的方程为，故选：．8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点，反射后，反射光线为射线，则的角平分线所在的直线的斜率为　　A． B． C． D．【解答】解：由已知可得，在第一象限，将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，，又由双曲线的方程可得，，所以，则，所以，且点，都在直线上，又，所以，所以，设的角平分线为，则，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，故选：．9．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　A． B． C． D．【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，分别与联立，解得，，，，中点坐标为，，点满足，，，，．故选：．10．椭圆的右焦点为关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是　　A． B． C． D．【解答】解：设，由题意可得，由①②可得：，，代入③可得：，解得，可得，．即，可得解得．故选：．二．多选题（共1小题）11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线，则下列正确的是　　A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为【解答】解：渐近线的方程为，，到的距离为，，，双曲线的标准方程为，即选项正确；，，，由角分线定理知，，即选项正确；由双曲线的定义知，，，，在等腰△中，，，，，即选项正确；，，即选项错误．故选：．三．填空题（共7小题）12．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则　2　；点的坐标为　　．【解答】解：椭圆的，，，设椭圆的右焦点为，连接，线段的中点在以原点为圆心，2为半径的圆，连接，可得，设的坐标为，可得，可得，，由，，故答案为：2；，．13．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 　　．【解答】解：由于是抛物线的焦点，得，，准线方程，设，，，，，解得，线段的中点横坐标为．线段的中点到轴的距离为．故答案为：．14．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．【解答】解：设，，连接、，由抛物线定义，得，，在梯形中，．由余弦定理得，，配方得，，又，得到．，即的最大值为．故答案为：．15．设抛物线的焦点为，已知，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　1　．【解答】解：设，，由抛物线定义，得，在梯形中，．由余弦定理得，配方得，，又 ，得到．，即的最大值为1．故答案为：116．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　　．【解答】解：设，，由抛物线定义，得，在梯形中，．由余弦定理得，，配方得，，又，得到．，即的最大值为．故答案为：17．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线，则　6　．【解答】解：不妨设在双曲线的右支上为的平分线又解得故答案为618．如图，从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点，处的切线垂直于的角平分线．已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是　　．【解答】解：由题意知，椭圆在点，处的切线方程为，且，切线的斜率为，而的角平分线的斜率为，又切线垂直于的角平分线，，即，．故答案为：，．四．解答题（共8小题）19．已知椭圆的左右焦点分别为：，，为椭圆上除长轴端点外任意一点，△周长为12．（1）求椭圆的方程；（2）作的角平分线，与轴交于点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）椭圆的左右焦点分别为：，，，△周长为12，，，则，椭圆的方程为．（2）在△中，，即，为的角平分线，，由合比性质得，即，，，．20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口所在椭圆的方程；（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在，使得到和到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；②若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）设所求椭圆方程为， 则，由椭圆的性质：，所以，，所以椭圆的方程为．（2）由椭圆的方程为，则，．①存在直线，使得到和到直线的距离之比为定值．设椭圆上的点，，则，到直线的距离，所以，所以，当时，（定值）．即存在，使得到和到直线的距离之比为定值．②设椭圆上的点，，则，又椭圆在点，处的切线方程为，证明如下：对于椭圆，当，，则，所以椭圆在，处的切线方程为，又由，可以整理切线方程为：，即切线方程为，即，也即．所以椭圆在点，处的切线方程为，同理可证：当，椭圆在点，处的切线方程为，综述：椭圆在点，处的切线方程为，所以在点，处的切线的斜率为，又由光学性质可知：直线，所以，则．所以，，那么．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线，四点，，，，，中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上．求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线．证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：由题意有3个点在椭圆上，根据椭圆的对称性，则点，一定在椭圆上，即①，（2分）若点，在椭圆上，则点，必为的左顶点，而，则点，一定不在椭圆上，故点，在椭圆上，点，在直线上，（4分）所以②，联立①②可解得，，所以椭圆的方程为；             （6分）（Ⅱ）证明：由可得直线的方程为，设，，，，当时，设，、，，显然，又，即为线段的中点，，代入椭圆方程相减可得直线的斜率为，（10分）又，所以直线的方程为，（13分）即，显然恒过定点，，（15分）当时，直线即，此时为轴亦过点，；综上所述，恒过定点，．          （16分）22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为．为抛物线的焦点，且，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于，两点在，之间），设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，，所以．（1分）在△中，为线段的中点，故，所以．（2分）于是椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设，，，，，取的中点为，．假设存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形，则．联立△．，．因为，所以．．，所以．23．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．（1）求椭圆的方程；（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．【解答】解：（1）选择①离心率，可得，，即，解得，，即有椭圆的方程为；选②椭圆过点，即有，又，即，解得，即有椭圆的方程为；选③△面积的最大值为，可得位于短轴的端点时，取得最大值，且为，即为，又，即，，，即有椭圆的方程为；（2）证明：设直线的方程为，联立椭圆方程可得，设，，，，可得，，可得，设的中点为，可得，，由题意可得，解得，可得，可得，即为定值．24．已知，，是椭圆上的三个点，是坐标原点．（Ⅰ）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．【解答】解：四边形为菱形，是椭圆的右顶点直线是的垂直平分线，可得方程为设，得，解之得（舍负）的坐标为，同理可得的坐标为因此，，可得菱形的面积为；四边形为菱形，，设，得、两点是圆与椭圆的公共点，解之得设、两点横坐标分别为、，可得、两点的横坐标满足，或且，①当时，可得若四边形为菱形，则点必定是右顶点；②若且，则，可得的中点必定是原点，因此、、共线，可得不存在满足条件的菱形综上所述，可得当点不是的顶点时，四边形不可能为菱形．25．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，和，两点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线为，焦点为，点为直线上的动点，且点的横坐标为，试讨论当取不同的值时，圆心在抛物线上，与直线相切，且过点的圆的个数．【解答】解：（1）抛物线的焦点，，准线方程为直线的方程为，代入可得，由抛物线的定义可知，，，抛物线的方程为；（2）设，则过与直线垂直的直线方程为，与联立，可得，△，△，，满足条件的圆的个数是2个；△，，满足条件的圆的个数是1个；△，，满足条件的圆的个数是0个．26．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线的焦点为，设直线的方程为：，设，，，，则，整理得：，则，，由，解得：，则，直线的方程；方法二：抛物线的焦点为，设直线的倾斜角为，由抛物线的弦长公式，解得：，，则直线的斜率，直线的方程；（2）由（1）可得的中点坐标为，则直线的垂直平分线方程为，即，设所求圆的圆心坐标为，，则，解得：或，因此，所求圆的方程为或．