2024届高考数学-第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题（解析版）

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第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题 参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点，分别为双曲线的左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于　　A． B． C． D．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的渐近线被圆，即所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为，则，，即，即，，，由正弦定理可得，，，，，故选：．2．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：在等腰三角形中，，，可得，由双曲线的定义可得，即有．故选：．3．已知，为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，△是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为　　A．4 B． C．2 D．【解答】解：设，，△是等腰直角三角形，，，，由，，①由，，②由①②可得，，由余弦定理可得，，，故选：．4．已知，分别是双曲线的左右焦点，的右支上的一动点，则的取值范围是　　A． B．， C．， D．，【解答】解：，分别是双曲线的左右焦点，，，得，双曲线的焦距为，，，点在双曲线上运动，，，，，，当，时，，当，时，，，的取值范围是，．故选：．5．已知双曲线的一条渐近线方程，且点为双曲线右支上一点，且，为双曲线左右焦点，△的面积为，且，则双曲线的实轴的长为　　A．1 B．2 C．4 D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，由一条渐近线方程为，可得，由双曲线定义有，两边平方得①由余弦定理，有，即为②由①②可得，△的面积为，可得，解得，，故选：．6．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则的长为　　A． B． C． D．【解答】解：双曲线的，在等腰三角形中，，，可得，由双曲线的定义可得，解得，则，故选：．7．已知点和是椭圆上一动点，则的最大值　　A． B． C． D．【解答】解：为椭圆左焦点，设右焦点为，则由椭圆定义，于是．当不在直线与椭圆交点上时，、、三点构成三角形，于是，而当在直线与椭圆交点上时，在第三象限交点时有，在第一象限交点时有．显然当在直线与椭圆第一象限交点时有最大值，其最大值为．故选：．8．已知为经过抛物线焦点的弦，为抛物线的准线与轴的交点，若弦的斜率为，则的正切值为　　A． B． C．1 D．不存在【解答】解：抛物线方程为，焦点坐标为，，准线方程为点坐标为，直线经过点，，的斜率为，设点的坐标为，，，代入抛物线方程可得，，可以解得，或（舍去），，同理，可以解得，，．故选：．9．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比　　A． B． C． D．【解答】解：抛物线方程为，焦点的坐标为，，准线方程为，如图，设，，，，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，则，，把代入抛物线，得，，直线过点与方程为，代入抛物线方程，解得，，，在中，，，故选：．二．填空题（共8小题）10．已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为　，　．【解答】解：法一：，，，，，，设，则，，，．法二：，，令，，，，，，，，，．故答案为：，．11．设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　15　，最小值为　　．【解答】解：将的坐标代入椭圆方程可得，即在椭圆外，连结、，椭圆的，，，，，由椭圆的定义可得，，，由，，，的最大值和最小值分别为15和故答案为：15，．12．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为　　．【解答】解：．，．，当且仅当三点，，共线时取等号．故答案为：．13．已知点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为　　．【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为，连接，设圆的圆心为，圆的方程为的圆心为，，半径，则有，若，则，，；线段与圆相切于点，则以及，则有，即，即，由双曲线的性质有，则双曲线的离心率；故答案为：．14．抛物线的过焦点的弦，为坐标原点，则以为直径的圆与轴有　1　个公共点；抛物线准线与轴交于点，若，　 　．【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，由抛物线的定义可得，设的中点为，可得到准线的距离为，即有到轴的距离为，则以为直径的圆与轴相切，可得与轴有1个交点；由，可得直线的斜率为，即有直线的方程为，代入抛物线的方程，可得，解得，即有，，，，，可得直线的斜率为，直线的斜率为，则，，由，，解得，则．故答案为：1，．15．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比　　．【解答】解：抛物线方程为，焦点的坐标为，，准线方程为如图，设，，，，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，则，，把代入抛物线，得，，直线过点与，方程为，代入抛物线方程，解得，，在中，，，故答案为16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则　2　．【解答】解：抛物线的焦点，过，两点的直线方程为，联立可得，，设，，，，则，，，，，，，，，，，整理可得，，，即，．故答案为：217．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于、两点，若以为直径的圆过，则　2　【解答】解：抛物线的焦点，过，两点的直线方程为，联立，可得，设，，，，则，，，，，，，，，以为直径的圆过，，，整理可得，，，即，解得．故答案为：2三．解答题（共1小题）18．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设，由得，，可得，又，可得，，椭圆方程为：；设直线的方程为，，，，由方程组得，，解得，或，由题意可知，进而得，由（1）知，，设，则，，由题意得，，解得，直线的方程为，与直线的方程联立，可得点的横坐标，在中，由，得，得，，解得，或，故直线的斜率的取值范围为：．