2024届高考数学-第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形（解析版）

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第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形 一．选择题（共8小题）1．已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　A． B． C． D．【解答】解：，，又，，又，，，，，，，在轴上．在△中，，在△中，由余弦定理可得，根据，可得，解得，．．所以椭圆的方程为：．故选：．2．若椭圆和双曲线有相同的焦点，，是两条曲线的一个交点，则的值是　　A． B． C． D．【解答】解：设在第一象限，，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，，则，故选：．3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，，△的面积为，则双曲线的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：由是双曲线右支上一点，所以，在△中，由余弦定理有，所以，所以，所以，所以，所以离心率，故选：．4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为，且，则此双曲线的离心率是　　A． B．2 C．4 D．5【解答】解：由题意可得：，，解得，，又，代入化简可得，，所以，解得．故选：．5．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为　　A． B． C． D．【解答】解：把代入双曲线，可得：，，，，，．该双曲线的渐近线方程为：．故选：．6．已知双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为　　A． B． C． D．【解答】解：把代入双曲线双曲线，可得：，．，．，，则双曲线的渐近线方程为，故选：．7．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则　　A． B． C． D．【解答】解：的焦点，等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于轴轴对称两个边的斜率，其方程为：，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故，故选：．8．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的一条渐近线方程为，且，则实数的值为　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意可知，联立方程组，消去可得：，设，，，，则，，又，，．故选：．二．多选题（共2小题）9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为的中点，则　　A．以线段为直径的圆与轴相切 B．当时， C．以线段为直径的圆与直线相离 D．的最小值为3【解答】解：当直线的斜率不存在时，以线段为直径的圆与轴相切；当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，设，，，，可得，，设，，可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，当时，的中点的横坐标为，，得以线段为直径的圆与轴相交，故错；以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，设，，，，可得，，可得，又，可得，，则，故正确；的焦点，准线方程为，设，，在准线上的射影为，，，由，，，可得线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故正确；当直线垂直于轴，可得为通径，取得最小值4，故错误．故选：．10．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，，，两点，直线，分别于直线相交于，两点．则下列说法正确的是　　A．焦点的坐标为 B． C．的最小值为4 D．与的面积之比为定值【解答】解：抛物线的方程整理可得：，所以焦点，所以不正确；由椭圆的焦点在轴可得，直线的斜率一点存在，设直线的方程为：，联立，整理可得：，所以，所以，故正确；所以△，，当轴时最小，这时直线的方程为，代入抛物线的方程可得，，所以，所以最小值为4；所以正确；由题意可得直线，的方程分别为：，，与的交点分别为，，，，所以；到直线的距离，弦长，所以，所以，所以与的面积之比为定值，故正确；故选：．三．填空题（共7小题）11．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则的方程为　　．【解答】解：由题意可得，设：，由可得，由椭圆的定义可得，，，又因为，所以在△中，，即，①在中，，即，整理可得，②将②代入①中可得，所以，所以椭圆的方程为：；故答案为：．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为 　　．【解答】解：取的中点，连接，所以可得，又因为，所以，即，而为的中点，所以，可得，因为，而，所以可得：，，在△中，由勾股定理可得，即，可得，所以，故答案为：．13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为　　．【解答】解：设内切圆的半径为，椭圆，其中，，，则，与轴垂直，则有，，解得：，，的周长，其面积，由内切圆的性质可知，有，解得．圆心横坐标为，即圆心坐标为，，则的内切圆方程是，故答案为：．14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，．若梯形的面积为，则　2　．【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，设，，，，由题意可知，由，消去得，由韦达定理得，，所以梯形的面积为：所以，又，所以故答案为2．15．过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，，若梯形的面积为，则　3　．【解答】解：抛物线方程为，设，点坐标分别为，，，，，焦点坐标为，，直线的方程为，代入抛物线方程得，，，，则梯形的面积为，．故答案为：316．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，又过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，若梯形的面积为，则　　【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，设，，，，由题意可知，．由，消去得，由韦达定理得，，梯形的面积为：，又，．故答案为．17．在平面直角坐标系中，双曲线．的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的离心率为，若．则　4　．【解答】解：双曲线的离心率为，即为，即有，即，设，，，，抛物线的焦点，准线为，可得，联立抛物线方程和双曲线方程可得：，即，可得，即有，即．故答案为：4．四．解答题（共1小题）18．已知椭圆过点，，椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点．（1）求四边形的面积；（2）若四边形的内切圆的半径为，点，在椭圆上，直线斜率存在，且与圆相切，切点为，求证：．【解答】解：（1）依题意，，解得，，所以椭圆的方程为．故四边形的面积．（2）证明：要证，只需证，因为直线的方程为，即，所以原点到直线的距离，所以，设直线方程为：，，，，，则，所以；①由，得当△，，，所以，由①得，所以．