2024届高考数学-第17讲 直线的斜率问题（原卷版）

第17讲 直线的斜率问题

一．解答题（共18小题）

1．已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；

（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

2．设椭圆的焦距为，且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

3．如图，，分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，2是与的等差中项，是与的等比中项．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是椭圆上异于，的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线垂直于，并交直线于点．证明：，，三点共线．

4．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．

（Ⅰ）当，时，求的面积；

（Ⅱ）当时，求的取值范围．

5．已知椭圆的右焦点为，左顶点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的），两点．试判断直线与轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

6．已知椭圆过点，为椭圆的半焦距，且．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作两条相互垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，，若线段的中点在轴上，求此时直线的方程．

7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为．

（1）求双曲线的方程；

（2）如图，过圆上一点作圆的切线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程．

8．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，，点为点关于轴的对称点．

（1）求双曲线的方程；

（2）判断，，三点是否共线，并说明理由；

（3）求三角形面积的最小值．

9．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：．

10．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．

（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程．

（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）

11．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．

（1）当时，分别求在点和处的切线方程；

（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．

12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且也是抛物线的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时，总有？说明理由．

13．一个圆经过点，且和直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、，若轴是的角平分线，证明直线过定点．

14．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点．

（1）若过点，且，求的斜率；

（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行．

15．如图，若是抛物线上的一定点不是顶点），动弦、分别交轴于、两点，且．证明：直线的斜率为定值．

16．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、．如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点．

17．已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为．

（1）设，，，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；

（2）设与的斜率之积为，求面积的值．

18．设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为．已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点．