2024届高考数学-第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结（解析版）

第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结

参考答案与试题解析

一．解答题（共16小题）

1．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、．

（1）若△为等边三角形，求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程．

【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为、，

短轴的两个端点分别是、，△为等边三角形，

，解得，

椭圆的标准方程为．

（2）椭圆的短轴长为2，椭圆的两个焦点分别为、，

椭圆的标准方程为，

过点直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，

当直线的斜率不存在时，直线为，此时以为直径的圆不经过点，不成立；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由，得．

设，，，，则

，，

，，，，

过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，

，，

，解得，即．

故直线的方程为或．

2．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．

【解答】解：（Ⅰ）设圆心，，过点作 轴，垂足为，则，

，

，化为．

当时，也满足上式．

动圆圆心的轨迹的方程为．

（Ⅱ）设，，，

由题意可知，，．

轴是的角平分线，，

，，化为．

直线的方程为，

，化为，

化为，

，令，则，

直线过定点

3．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率．

【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，

依题意，，

又，可得，，，

所以，椭圆的方程为．

（2）由题意，设，，，，

设直线的斜率为，

又，则直线的方程为，

与椭圆方程联立整理得，

可得，代入得，

进而直线的斜率，

在中，令，得，即，

所以直线的斜率为，

由，得，化简得，

从而．

所以，直线的斜率为或．

4．已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点．

（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：

（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）抛物线的准线方程，焦点坐标，

则，抛物线的标准方程为，焦点．

（2）设，，，，，，，，

由，得点在直线上，且，

且四边形的面积．

，

由，得，

则，

，

因为，所以，

由，的斜率分别为，由图知必过点，

可设，且，

故直线，令，

则直线，代入椭圆方程，

得，

，

，

点 到的距离，

四边形的面积，

当且仅当时，面积最大为．

5．已知椭圆过点，左右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程．

【解答】解：（1）由椭圆过点，则，①

连接，由为线段的中点，为线段的中点，

则，则，

由，②

由①②得，，

则椭圆的离心率；

（2）由（1）椭圆与方程，直线的斜率，

不妨设直线的方程，设，，，，

，整理得：，

则△，解得：，

，，

，

由到的距离，

则的面积，

当且仅当时，取等号，即，

则直线的方程．

6．已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，则①，

又过点，所以，解得，

由①可得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由（1）可知，点，设，，，，

联立方程组，可得，

所以，

所以，

，

因为，所以，

整理可得，，

所以，

化简整理可得，，

解得或，

若，则过点，则，与点重合，不符合题意，

所以，

故存在定值，使当变化时总成立．

7．如图，已知椭圆经过点，离心率．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．

【解答】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①②

由①②得，，，

故椭圆的标准方程为．（4分）

（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，

设的斜率为，则直线的方程为③．（5分）

代入椭圆方程，

整理得．（6分）

设，，，，

则有④．（7分）

在方程③中，令得，，从而，，．（9分）

又因为、、共线，则有，

即有，

所以

⑤

将④代入⑤得，（12分）

又，

所以，即，，成等差数列．．（13分）

8．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围．

【解答】解：（1）由已知有，又，可得，

设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式可得，，

故所求的椭圆方程为；

（2）设点的坐标为，直线的斜率为，

联立消去整理，

可解得或．

再设直线的斜率为，

再联立

①当时，故得

②当时，故得

综上直线的斜率的取值范围．

9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，

（1）求抛物线的方程；

（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．

【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，满足，的的坐标为，，在抛物线上，

所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：；

（2）设，，，，，，则，，

直线的斜率，

则直线的方程为：，即①，

同理可得直线的方程整理可得②，

将，分别代入①，②的方程可得，消可得，

易知直线，则直线的方程为：，

即，故，

所以，

因此直线恒过定点．

10．设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段的中点．

（1）若是正三角形为坐标原点），求此三角形的边长；

（2）若，求直线的方程；

（3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）

【解答】解：（1）设的边长为，

则，，，；

（2）设直线，

时，，符合题意；

时，方程联立可得，设，，，，

则，，

，，

，

，

，

△，，

，

，舍去，

综上所述，直线的方程为，；

（3）时，直线有4条；

，，时，2条；

，，1条．

11．如图，已知椭圆与圆在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，且直线与轴相交于点，为线段的中点，为坐标原点，若，求的最大值．

【解答】解：（1）圆的圆心为，半径为，

由题意可得，，

由中位线定理可得，即，

由椭圆的定义可得，即，

又，

即为，解答，，

则椭圆方程为；

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，

可得，

设，，，，可得：

，，

由中点坐标公式可得，，

，由，可得，即，

即有的坐标为，，

，

又

，

即有

，

当，即，时，取得最大值．

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴．

（1）求椭圆的方程；

（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值．

【解答】解：（1）点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，

，将点坐标代入椭圆方程可得，

又，联立可解得，，

椭圆的方程为；

（2）设切点坐标为，则．

整理，得．

，设，，，，

联立，可得，

△．

．

的中点坐标为，

的垂直平分线方程为，令，得，

即，．

，，当且仅当时取得等号．

直线的斜率的最小值为．

13．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于，两点，线段的中点为，直线与直线的交点为．判断是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，说明理由．

【解答】解：（1）设过点且与直线垂直的直线为，

则，解得，即，

由，解得，即圆心坐标为，

所以半径，

所以圆的方程为．

（2）当直线的斜率存在时，设过点的直线为，

所以，消去得，

设，、，，则，，

所以，所以的中点，

由解得，即，

所以，，

所以；

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

由，解得或，

即、，所以，所以，

又解得，即，

所以，所以，

综上可得．

14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．

（1）圆上点，处的切线方程为 　　．理由如下：　　．

（2）椭圆上一点，处的切线方程为；

（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，如图，则直线的方程是 　　．这是因为在，，，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；

（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，

化简得△得．

若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 　　．

（5）抛物线上一点，处的切线方程为；

（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，，，，则直线的方程为．直线的方程为，设和相交于点．则①点在以线段为直径的圆上；②点在抛物线的准线上．

【解答】解：（1）圆上点，处的切线方程为．

理由如下：

①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，

所以，

又过点，，

由点斜式可得，，

化简可得，，

又，

所以切线的方程为；

②若切线的斜率不存在，则，

此时切线方程为．

综上所述，圆上点，处的切线方程为．

（3）在，，，两点处，椭圆的切线方程为和，

因为两切线都过点，

所以得到了和，

由这两个“同构方程”得到了直线的方程为；

（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，

由，可得，

由△，可得，

因为，

则，

所以式中关于的二次方程有两个解且其乘积为，

则，

可得，

所以圆的半径为2，且过原点，其方程为．

故答案为：（1），理由见解析；

（3）；

（4）．

15．如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，、是左、右焦点．

（1）已知椭圆内有一点，在椭圆上有一动点，则求的最大值和最小值分别是多少？

（2）如图1，若直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，设过点垂直于的直线为．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

（3）如图2，若直线过左焦点交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点．

（4）如图3，若，是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除，外的任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为为定值．

（5）如图4，若动直线与椭圆有且只有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．

（6）如图5，若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点．试探究：线段上是否存在点使得，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．

（7）如图6，若点为抛物线上的动点，设为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的？①点在椭圆上；②点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）设为椭圆的左焦点，连结，作过、的直线交椭圆于、两点，如图所示

中，，，

，可得，．

由椭圆的定义，得，

由平面几何知识，得，

当与重合时，达到最大值；当与重合时，达到最小值．

由，可得的最大值为，最小值为．

的取值范围为，．

（2）设，，设，，，

则，，

，，三点共线，，得，

设直线的斜率为，直线的斜率为，

则直线的方程为，

，

即．

所以直线过定点．

（3）证明：设，，，，，

代入椭圆方程，整理，得，

，

，，

，，

，

设与轴交于点，以线段为直径的圆与轴交于点，，

则，，

，点，的坐标为，，

以线段为直径的圆过轴上的两个定点和．

证明：设、是椭圆上关于原点对称点，设，，则，，

（4）设点坐标为，则，

．

即，，

为定值．

（5）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

由直线与椭圆仅有一个公共点知，△，

化简得：．

设，，

法一：当时，设直线的倾斜角为，

则，

，，

，当时，，，．

当时，四边形是矩形，．

所以四边形面积的最大值为．

法二：，．

．

四边形的面积，

．

当且仅当时，，故．

所以四边形的面积的最大值为．

（6）存在这样的点符合题意．设线段的中点为，，，，，，，

直线的斜率为，注意到，则直线的方程为，

由消去得：，

所以，

故，．

又点在直线上，所以，

由可得，

，，

整理得，

所以，在线段上存在点符合题意，其中．

（7）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，

由条件①知，

由条件②得，又因为点，

所以即，

故，

解之得或（舍，

当时，解得不合题意，

所以同时满足两个条件的三角形不存在．

16．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．

（1）求抛物线的焦点坐标；

（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；

（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．

【解答】解：（1）抛物线的方程化为，

，．（2分）

抛物线的焦点坐标为．（4分）

（2）联立方程组，解得点坐标为．（6分）

联立方程组，解得点坐标为．（7分）

所以直线的方程为，（8分）

令，解得．

点的坐标为．（9分）

（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，

过这两条直线与抛物线的交点的直线恒过定点．（10分）

证明如下：

设过抛物线的顶点的一条直线为，

则另一条为，

联立方程组，解得点坐标为．（11分）

联立方程组，解得点坐标为，．（12分）

所以直线的方程为，（13分）

令，解得．

直线恒过定点．（14分）