云南师范大学附属中学2022-2023学年高三第十次高考适应性考试数学试题及答案

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

【解析】

1．解不等式得，故集合，阴影部分表示的集合为，故选B．

2．因为，故，在复平面内对应的点为，故选B．

3．圆心，圆心到直线l的直线距离，弦长为，故选C．

4．根据N的标准分解式可得，故180的正因子个数为，故选D．

5．由题意，，因为是递增的数列，解方程组得，，故选C．

6．事件A1与A2可以同时发生，故A错误；由全概率公式得，故B错误；由概率的乘法公式得，故C正确；由条件概率公式，其中，，故D错误，综上，故选C．

7．，

，所以，故选A．

8．是偶函数，，又，，是偶函数；关于点中心对称；又，即4是的一个周期；令，可得

，又，，

，故选C．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

【解析】

9．由题意，，，故A正确；，故B错误；

，故C正确；由C知D正确，故选ACD．

10．，所以的最小正周期为，故A错误；把的图象向左平移个单位长度，所得函数为，是偶函数，所以图象关于y轴对称，故B正确；当时，，当，即时，最大值为，所以m的最小值为，故C错误；令，解得，当时，的一个对称中心为，故时，有，故D正确；综上，故选BD．

11．由题意知的零点个数即为和的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画出和的图象，由图可知，当时，图象有两个不同的交点，故A正确；设直线与曲线相切于点，则，故切线斜率，所以当，直线与有3个不同的交点，则有3个零点，故B正确；设直线与曲线相切于点，则，故切线斜率，所以当时，恰有1个零点，故C正确；当时，直线与的图象至多有2个交点，故D错误；综上，故选ABC．

12．当时，，连接，易知平面平面，且，故A正确；当时，N为CD中点，分别取AB，BC中点G，H，连接，则，∴平面，∴P点轨迹为，，故B错误；当时，M，N分别为的中点，只需过点M作直线的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为点P的轨迹，分别取的中点R，S，连接，易知，过点M作平面分别交于点，则P点轨迹为四边形，其周长与四边形的周长相等，∴P点的轨迹的长度为，故C正确；过交于点Q，则截面为四边形，若截面为矩形，则，设，则由勾股定理得，解得，此时N点与C或D重合，与题目矛盾，故截面不可能为矩形，D错误；综上，故选AC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．令，可得；令，可得；两式相加得，令，可得，故．

14．当l平行于x轴时，l与C只有一个公共点，此时方程为；当l与抛物线相切时，l与C只有一个公共点，设直线l方程为，联立方程得，由，此时直线l的方程为．

15．n阶幻方共有个数，其和为，∵n阶幻方共有n行，∴每行的和为．

16．过切点E，F作出双球模型的轴截面，设球分别与圆锥的母线切于A，B两点，过作于点C，则，又，所以，设直线AB与平面的交点为P，则，，

．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：（1）由题意可得，青年共有人，中老年有人；

持满意态度的中老年有人，青年有人；

持不满意态度的中老年有人，青年有人，

得列联表如下：

………………………………………………………………………………………（3分）

零假设为：对5G网络的满意度和年龄无关联．

由列联表得，，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对5G网络的满意度和年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．…………………………………………（5分）

（2）法一：每名客户摸出红球的概率为，

设为100名客户中摸出红球的人数，则，

所以，………………………………………………………………（8分）

又，所以，

故运营商需提供充值券总金额的数学期望为300元．……………………………（10分）

法二：每名客户摸出红球的概率为，

设为每名客户获得的充值券金额，则，

且，，

所以，，

故运营商需提供充值券总金额的数学期望为300元．……………………………（10分）

18．（本小题满分12分）

解：（1），．……………………………………………………………（1分）

，，，．

………………………………………………………………………………………（6分）

（2），当时，，

当时，，又也满足．……………………………（8分）

，………………………………………………………………………………（9分）

，……………………………………………………（10分）

数列的前n项和．

…………………………………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（1）证明：设圆O的半径为r，

在中，，，，

故，又，故，

在中，由余弦定理得，

所以，即；

圆锥中，底面，底面，故，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面．……………………………………（6分）

（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，，

则，，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

有解得，

设直线与平面所成角为，

则．

…………………………………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（1），．

，，，

又，，……………………………………………………（2分）

．…………………………………………………………………………（3分）

，

当且仅当时，有最小值．…………………………（5分）

因此，不存在满足条件的，使得．

………………………………………………………………………………………（6分）

（2）由（1）知，当时，，．

………………………………………………………………………………………（7分）

解法一：在中，，由余弦定理得，，

，．………………………………………………………………（8分）

在中，，，

由正弦定理得，，

，，

，．…………………………………………………………（10分）

．

…………………………………………………………………………………（12分）

解法二：

在中，，，由正弦定理得，，

，，，………………………………………（8分）

，

又，，．

．……………………………………………………………………（10分）

．

…………………………………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

解：（1）由，得，又，

，，．

，…………………………（2分）

令，得或．

当时，令，得或；令，得．

在和上单调递增，在上单调递减．

………………………………………………………………………………………（4分）

当时，令，得或；令，得．

在和上单调递减，在上单调递增．

………………………………………………………………………………………（6分）

（2），

令，得，或，

则，是的两个不等正根．…………………………………（8分）

，

由知：，

，．

，

，

令，

则，

法一：，

由对数均值不等式，可得，，

．………………………………………………………………………（12分）

法二：令，，化简可得，

，

令，

，

令，，

当时，，，，单调递增，，

当时，，即，可得，

．………………………………………………………………………（12分）

22．（本小题满分12分）

（1）解：由题意可知，，，，

则，．双曲线C的方程为．………………………………（2分）

设，，，

把：代入，得，又，

，，………………………………（5分）

，．……………………………（6分）

，

．………………………………………………………………………………（8分）

（2）证明：双曲线渐近线方程为，则，．

由，得，．

………………………………………………………………………………………（9分）

，，

化简可得．………………………………………………………………（10分）

，

为定值．………………………………………………………………（12分）