2024届高三数学一轮复习基础夯实练8：函数的奇偶性、周期性

基础夯实练8  函数的奇偶性、周期性

1．(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是(　　)

A．y＝2x3＋4x   B．y＝x＋sin(－x)

C．y＝log2|x|   D．y＝2x－2－x

2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．(2022·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f ＋f(2)等于(　　)

A．0  B．2  C．4  D．－2

4．(2022·亳州模拟)已知函数f(x)＝x2＋log2|x|，a＝f(2－0.2)，b＝f(lg π)，c＝f(log0.26)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)

A．a<b<c   B．b<c<a

C．b<a<c   D．c<b<a

5．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．f(x－1)－1   B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1   D．f(x＋1)＋1

6．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的一个周期为4

B．f(2 022)＝1

C．当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(4－x)

D．函数f(x)在[0,2 021]内有1 010个零点

7．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________.

8．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是________．

9．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．

11．(2023·廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　)

A．f(0)＝2   B．f(x)为偶函数

C．f(x)为奇函数   D．f(2)＝－1

12．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋ex，则f ，f ，f 从小到大的排列是________．

13．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝______，b＝______.

14．已知函数f(x)＝在区间[－3,3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________．

参考答案

1．ABD　2.A　3.D　4.C　5.B　6.AC

7．cos 2x(答案不唯一)　8.(，＋∞)

9．解　(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)

＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x

＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知

所以1<a≤3，

故实数a的取值范围是(1,3]．

10．(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)解　当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，

由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.

又f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.

∴f(x)＝x2＋2x.

又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，

∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.

从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.

(3)解　f(0)＝0, f(1)＝1，

f(2)＝0，f(3)＝－1.

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)

＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)

＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0.

11．C　[因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，

取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，

又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A对；

取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，

因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，

所以f(x)为偶函数，C错，B对；

取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，

又f(1)＝1，f(0)＝2，

所以f(2)＝－1，D对．]

12．f <f <f 

解析　由题意知f(x＋1)＝，

则f(x＋2)＝＝f(x)，

故函数y＝f(x)的周期为2，

f ＝f ，f ＝f ＝f ＝f ，

f ＝f ＝f ，

∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋ex单调递增，

∴f <f <f ，

故f <f <f .

13．－　ln 2

解析　f(x)＝ln＋b

＝ln＋ln eb

＝ln.

∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＋f(x)

＝ln＝0，

∴

＝|1－x2|.

当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝1－x2时，

[(a＋1)2e2b－1]＋(1－a2e2b)x2＝0对任意的x恒成立，

则

解得

当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝x2－1时，

[(a＋1)2e2b＋1]－(a2e2b＋1)x2＝0对任意的x恒成立，

则无解．

综上，a＝－，b＝ln 2.

14．2

解析　f(x)＝＝＝＋1，

令g(x)＝f(x)－1＝，

则g(－x)＝－＝－g(x)，

∴函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，

即M－1＋N－1＝0，∴M＋N＝2.