2024届高三数学一轮复习基础夯实练30：正弦定理、余弦定理

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基础夯实练30  正弦定理、余弦定理1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(　　)A.  B.  C．6  D．52．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，a＝7，则△ABC外接圆的直径为(　　)A．14  B．7  C.  D.3．(2022·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B＝bcos A，且b＝2，c＝2，则a的值为(　　)A．2   B．2C．2－2   D．14．(2023·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则等于(　　)A.  B.  C.  D．25．(2023·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，则sin C等于 (　　)A.   B.C.   D.6．(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为(　　)A．等腰三角形   B．直角三角形C．等边三角形   D．等腰直角三角形7．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝        .8．(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为        ．9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝(2a－c)cos B.(1)求B；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积．            10．(2023·湖州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin＝asin B.(1)求角A的大小；(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．              11．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是(　　)A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形B．若A>B，则sin A>sin BC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin Asin Bsin C＝，△ABC的面积为2，则下列选项错误的是(　　)A．abc＝16B．若a＝，则A＝C．△ABC外接圆的半径R＝2D．2≥32sin C13．(2023·嘉兴模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是        ．14．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝        .15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S△ABC＝，则下列命题正确的是(　　)A．△ABC的周长为5＋B．△ABC的三个内角A，B，C满足关系A＋B＝2CC．△ABC的外接圆半径为D．△ABC的中线CD的长为16.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝        .若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝.则△BCE的面积为        ．
参考答案1．B　2.D　3.B　4.A　5.C6．C　[∵2cos B(acos C＋ccos A)＝b，∴根据正弦定理得，2cos B(sin A·cos C＋cos Asin C)＝sin B，∴2cos Bsin(A＋C)＝sin B，∴2cos Bsin(π－B)＝sin B，即2cos Bsin B＝sin B，∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos B＝，∴B＝.∵lg sin C＝lg 3－lg 2，∴lg sin C＝lg ，∴sin C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝或，∵B＝，∴C≠，∴C＝，∴A＝B＝C＝，即△ABC为等边三角形．]7.－1解析　设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－.∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，∴≥4－＝4－2＝(－1)2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.8.9．解　(1)由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B，∴sin(B＋C)＝2sin Acos B，∴sin A＝2sin Acos B，又∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B为三角形内角，∴B＝.(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，∴a＝，c＝2，∴△ABC的面积为S＝acsin B＝××2×＝.10．解　(1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B，由正弦定理得sin Bcos A＝sin Asin B，∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，即tan A＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，即b2＋c2－bc＝bc，∴(b－c)2＝0，∴b＝c，又由(1)知A＝，∴△ABC为等边三角形．11．ABD　[对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B，若A>B，则a>b，由正弦定理＝＝2R，得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B成立，故B正确；对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故C错误；对于D，若sin2A＋sin2B<sin2C，则根据正弦定理得a2＋b2<c2，cos C＝<0，所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故D正确．]12．B　[由题可得absin C＝2，则sin C＝，代入sin Asin Bsin C＝，得＝，即R2＝8，即R＝2，C正确；abc＝8R3sin Asin Bsin C＝128×＝16，A正确；若a＝，则sin A＝＝＝，此时A≠，B错误；因为sin A>0，sin B>0，所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，所以≥，由sin Asin Bsin C＝，得＝32sin C，所以≥32sin C，即2≥32sin C，D正确．]13．6解析　∵csin A＝acos C，根据正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，∵sin A≠0，故tan C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝，再由余弦定理得cos C＝＝＝，代入c＝2，ab＝8，得a＋b＝6.14．9解析　在△ABD中，结合余弦定理得cos∠ADB＝，在△ACD中，结合余弦定理得cos∠ADC＝，由题意知BD＝CD，∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，所以＋＝0，即＋＝0，解得CD＝，所以BC＝9.15．ABD　[因为△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，所以a∶b∶c＝2∶3∶，设a＝2t，b＝3t，c＝t，t>0，利用余弦定理cos C＝＝＝，由于C∈(0，π)，所以C＝.对于A，因为S△ABC＝，所以absin C＝·2t·3t·＝，解得t＝1.所以a＝2，b＝3，c＝，所以△ABC的周长为5＋，故A正确；对于B，因为C＝，所以A＋B＝，故A＋B＝2C，故B正确；对于C，利用正弦定理 ＝＝＝2R，解得R＝，所以△ABC的外接圆半径为，故C错误；对于D，如图所示，在△ABC中，利用正弦定理＝，解得sin A＝，又a<c，所以cos A＝，在△ACD中，利用余弦定理CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos A＝9＋－2×3××＝，解得CD＝，故D正确．]16.　2解析　在△ABC中，由余弦定理知cos B＝，而a2＋c2＝b2＋ac，∴cos B＝，又0<B<π，则B＝，在△BCE中，设∠CEB＝θ，则＝，可得CE＝，又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠ECA＝∠EAC＝，∴sin＝＝，可得cos ＝，而0<θ<π，故＝，即θ＝.∴CE＝2，BE＝2，故△BCE的面积为·CE·BE＝2.