2024届高三数学一轮复习基础夯实练31：解三角形及其应用举例

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练31：解三角形及其应用举例，共15页。
基础夯实练31  解三角形及其应用举例1．一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的路程为(　　)A．12海里   B．8海里C．8海里   D．8海里2．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)(　　)A．7 350 m   B．2 650 mC．3 650 m   D．4 650 m3．(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是(　　)A. km   B．2 kmC. km   D．4 km4．(2022·洛阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＋sin C＝2sin A，则A的最大值为(　　)A.  B.  C.  D.5．(2023·德阳模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝2asin B, 则cos B＋sin C的取值范围为(　　)A．(0，]   B．(1，]C.   D.6．(多选)(2022·重庆模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝，若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是(　　)A．△ABC的内角B＝B．△ABC的内角C＝C．△ACD的面积为D．四边形ABCD面积的最大值为＋37．(2022·南宁模拟)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上点A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量与同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米(结果保留整数，参考数据：≈1.732)．8．(2022·六安模拟)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，ccos B＋(2a＋b)cos C＝0，若△ABC的外接圆面积为π，则△ABC周长的最大值是________．9．(2022·益阳模拟)在①＋＋1＝；②(a＋2b)cos C＋ccos A＝0；③asin ＝csin A，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．(1)求角C的大小；(2)若c＝4，求AB的中线CD长度的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．      10．(2022·西安模拟)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)．(1)求sin C；(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．               11．(多选)(2023·宁波模拟)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离12 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的有(　　)A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D．∠CDA＝60°12．(2023·咸阳模拟)数学必修第二册介绍了海伦－秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若＝，b＝2，则△ABC面积S的最大值为(　　)A.  B.  C．2  D.13．(2022·烟台模拟)我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB是窗户的高度，BC是遮阳篷的安装高度，CD是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为α，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为β，窗户高度AB＝h.为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC＝________.14．(2023·遵义模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin ＝asin B，a＝，则△ABC周长的最大值为________．15．在平面内，四边形ABCD的∠ABC与∠ADC互补，DC＝1，BC＝，∠DAC＝30°，则四边形ABCD面积的最大值等于(　　)A.  B.＋1  C.＋1  D．216.拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，F，若DF＝2，则＝________，AB＋AC的最大值为________．
参考答案1．D　2.B3．B　[方法一　由题意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PD＝x，记∠PBD＝α，∠PCD＝β，∴tan α＝，tan β＝x，∴tan∠BPC＝tan(β－α)＝＝＝，解得x＝1或x＝2，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.方法二　由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝，可得cos∠BPC＝，在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2··，解得x2＝3，进而PD＝＝2.]4．D5．C　[依题意b＝2asin B，由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin A＝，由于△ABC是锐角三角形，所以A＝，cos A＝，由⇒<B<.所以cos B＋sin C＝cos B＋sin＝cos B＋cos B＋sin B＝cos B＋sin B＝sin，由于<B＋<，所以sin∈.]6．ABD　[∵(acos C＋ccos A)＝2bsin B，由正弦定理得(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin B·sin B，∴sin B＝，∴B＝.故A正确；又∵∠CAB＝，∴∠ACB＝，故B正确；由于S△ACD＝×1×3sin D＝sin D，由于角D无法确定，故C不一定正确；在等边△ABC中，设AC＝x，x>0，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos D，由于DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cos D，∴四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝x·xsin ＋×1×3sin D＝x2＋sin D＝(10－6cos D)＋sin D＝3sin＋，∴当D＝时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为＋3，故D正确．]7．148．2＋解析　ccos B＋(2a＋b)cos C＝0，由正弦定理得sin Ccos B＋(2sin A＋sin B)cos C＝0，即sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0，所以sin(B＋C)＋2sin Acos C＝0，即sin A(1＋2cos C)＝0，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C＝－，因为C∈(0，π)，所以C＝，因为△ABC的外接圆面积为π，所以△ABC的外接圆半径为1，所以由正弦定理得＝＝2，解得c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝(a＋b)2－ab＝3，则ab＝(a＋b)2－3，由基本不等式得ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，所以(a＋b)2－3≤，解得a＋b≤2，所以△ABC周长的最大值是2＋.9．解　(1)选择条件①：由＋＋1＝及正弦定理，得＋＋1＝，即a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cos C＝＝＝－，因为0<C<π，所以C＝.选择条件②：由(a＋2b)cos C＋ccos A＝0及正弦定理，得(sin A＋2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0，即sin Acos C＋cos Asin C＝－2sin Bcos C.即sin(A＋C)＝－2sin Bcos C.在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，即sin B＝－2cos Csin B，因为0<B<π，所以sin B≠0，所以cos C＝－，因为0<C<π，所以C＝.选择条件③：由asin ＝csin A及正弦定理，得sin Asin ＝sin Csin A，因为0<A<π，所以sin A≠0，所以sin ＝sin C.在△ABC中，A＋B＋C＝π，则sin ＝cos ，故cos ＝2sin cos .因为0<C<π，所以cos ≠0，则sin ＝，故C＝.(2)因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以＋＝0，整理得2CD2＝a2＋b2－8，在△ABC中，由余弦定理得42＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2＋ab.因为ab≤，当且仅当a＝b时取等号，所以16＝a2＋b2＋ab≤a2＋b2＋(a2＋b2)＝(a2＋b2)，即a2＋b2≥，所以2CD2＝a2＋b2－8≥－8＝，即CD≥，即CD长度的最小值为.10．解　(1)由sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)及正弦定理，得absin C＝(a2＋b2－c2)，又由余弦定理得absin C＝abcos C.所以tan C＝，C为锐角， 则C＝，所以sin C＝.(2)由2R＝＝得R＝1.所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2R(sin A＋sin B)＋＝2(sin A＋sin B)＋＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝3sin A＋cos A＋＝2sin＋，因为A∈，－A∈，所以A∈，A＋∈，所以2sin＋∈(3＋，3]，即a＋b＋c∈(3＋，3]．所以△ABC周长的取值范围为(3＋，3]．11．ABD　[如图，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得＝，则AD＝＝24，故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，故B正确；由正弦定理得＝，所以sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°，因为AD>AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，故C不正确，D正确．]12．A　[因为＝，所以tan C＝，又tan C＝，所以＝，所以sin Bcos C＝sin C(1－cos B)，所以sin Bcos C＝sin C－sin Ccos B，所以sin C＝(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝sin(B＋C)＝sin A，由正弦定理得c＝a，因为b＝2，所以△ABC的面积S＝＝＝，将a2看成整体并利用二次函数性质得，当 a2＝4即 a＝2时， △ABC 的面积S 有最大值，最大值为. ]13.解析　依题意可得∠ADC＝β，∠BDC＝α，AB＝h，在Rt△ADC中，＝tan β，在Rt△BDC中，＝tan α，又AC－BC＝h，所以＝，解得BC＝.14．3解析　因为bsin＝asin B，所以由正弦定理得sin Bsin＝sin Asin B，又sin B≠0，故sin＝sin A，即cos ＝sin A.由二倍角公式有cos ＝2sin cos ，因为∈，故cos ≠0，所以sin ＝，所以＝，即A＝.由余弦定理得()2＝b2＋c2－2bccos ，结合基本不等式有2＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3×2，化简得(b＋c)2≤2，即(b＋c)2≤8，故b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时取等号．故△ABC周长的最大值为＋2＝3.15．B　[因为∠ABC与∠ADC互补，则sin∠ABC＝sin∠ADC，且A，B，C，D四点共圆．所以∠CBD＝∠DAC＝30°，在△ADC中，由正弦定理得＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，所以＝，得sin∠BAC＝，所以∠BAC＝60°或∠BAC＝120°.设四边形ABCD的外接圆半径为R，则＝2R，解得R＝1.设AB＝a，AD＝b.(1)如图1，当∠BAC＝60°时，则∠BAD＝90°，故∠BCD＝90°，此时S△BCD＝×1×＝，且BD＝2，在Rt△ABD中，4＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤2，即S△ABD＝×ab≤1.所以四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD≤＋1，当且仅当a＝b时，等号成立，故四边形ABCD面积的最大值为＋1.(2)如图2，当∠BAC＝120°时，则∠BAD＝150°，故∠BCD＝30°，所以S△BCD＝×1××sin 30°＝.因为＝2R，所以BD＝1，则在△ABD中，由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos 150°，所以ab＝1－(a2＋b2)<1，即ab<.所以S△ABD＝×absin 150°＝ab<，此时四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD<<＋1.综上，四边形ABCD面积的最大值等于＋1.16.　4解析　设BC＝a，AC＝b，AB＝c.如图，连接AF，BD.由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，∠ABD＝∠BAD＝30°，∠ADB＝120°，设AD＝BD＝x，由余弦定理得c2＝x2＋x2－2x2cos 120°，即c2＝3x2，解得＝，即＝，所以AD＝，同理AF＝，又∠BAC＝60°，∠CAF＝30°，所以∠DAF＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAF＝120°，在△ADF中，由余弦定理可得DF2＝ AD2＋AF2－2AD·AF·cos 120°，即12＝＋－2··，化简得(b＋c)2＝bc＋36，由基本不等式得(b＋c)2≤2＋36，解得b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以(AB＋AC)max＝4.