2024届高三数学一轮复习基础夯实练45：球的切、接问题

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练45：球的切、接问题，共9页。
基础夯实练45  球的切、接问题1．(2023·岳阳模拟)已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为(　　)A.π  B．4π  C．8π  D．12π2．已知在三棱锥P－ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为(　　)A.  B．4π  C.  D．4π3．(多选)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2，点D为AB的中点，过点D作球O的截面，则截面的面积可以是(　　)A.  B．π  C．9π  D．13π4．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为(　　)A．π  B．2π  C．3π  D．4π5．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　)A．6  B．12  C．18  D．246．(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法中正确的是(　　)A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为27.(2022·聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为(　　)A.π  B.π  C．4π  D．8π8．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)A.  B.  C.  D.9．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是(　　)A．14π  B．16π  C．18π  D．20π10．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)A．100π   B．128πC．144π   D．192π11．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)A.  B．2  C.  D．312．在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为(　　)A.2  B．4  C．2  D.13．如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．14.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，表面积为S1，球O的体积为V2，表面积为S2，则＝________，＝________.15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．16．(2023·洛阳模拟)已知在三棱锥P－ABC中，AB＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________．17．(2023·濮阳模拟)在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2，BD＝4，BD⊥平面ABC，则三棱锥D－ABC外接球的表面积为________．
参考答案1．B　2.A　3.BCD　4.C　5.C6．ABC　[设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a；内切球的半径为棱长的一半，即.∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，即正方体的棱长为2，∴正方体外接球的表面积为4π×()2＝12π，内切球的体积为，则A，B，C正确；线段MN的最大值为＋1，则D错误．]7．A　[将该多面体放入正方体中，如图所示．由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即2R＝，所以R＝1，所以该多面体外接球的体积V＝πR3＝.]8．C　[该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，则V′＝π(1－3h2)，令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，所以V＝π(1－h2)h在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，四棱锥的体积最大，故选C.]9．D　[在△BAC中，∠BAC＝45°，AB＝2，AC＝4，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 45°＝8＋16－2×4×2×＝8，则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，又△PAC为直角三角形，所以PC是三棱锥P－ABC外接球直径，设O是PC的中点，即为球心，又AC＝4，PA＝2，所以PC＝＝＝2，所以外接球半径为，所以所求外接球的表面积S＝4π×()2＝20π.]10．A　[由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.综上，该球的表面积为100π.]11．C12．C　[因为在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以折起后OD，OE，OF两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即以OD，OE，OF为棱的长方体的外接球．设正方形ABCD的边长为2，则OD＝2，OE＝1，OF＝1，故2R＝＝，则R＝.设内切球球心为I，由VO－DEF＝·S△OEF·OD＝，三棱锥O－DEF的表面积S＝4，VO－DEF＝VI－ODE＋VI－ODF＋VI－OEF＋VI－DEF＝Sr，所以r＝，则有＝2.]13．　6π解析　如图，添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE，因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，所以S△BCE＝CE×BC＝×1×1＝，直三棱柱ADF－BCE的体积V＝S△BCE·AB＝×2＝1，添加的三棱锥的体积为V＝.方法一　如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，AO即为球的半径，因为AM＝AF＝，MO＝1，所以AO2＝AM2＋MO2＝＋1＝，所以外接球的表面积为4π·AO2＝6π.方法二　因为CE，CB，CD两两垂直，故将直三棱柱ADF－BCE补成长方体，设外接球的半径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π.14.　　15.π16．50π解析　因为AB＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，所以△ABC的面积为定值，所以当PA⊥平面ABC时，该三棱锥体积最大．如图，取线段PC的中点O，则OP＝OA＝OB＝OC，所以点O为三棱锥外接球的球心，因为PA＝AC＝5，所以PC＝5，所以OC＝，即外接球的半径R＝，所以所求外接球的表面积为4πR2＝4π×2＝50π.12．32π解析　∵BD⊥平面ABC，故可将三棱锥补为直三棱柱，如图所示，∵AB＝BC＝2，AC＝2，故三棱柱的上、下底面三角形的外接圆圆心在底边中线的延长线上，设为O1，O2，易得∠O1BC＝60°，故O1B＝O1C＝BC＝2，∴三棱柱外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点O，即为三棱锥D－ABC外接球球心，设该外接球半径为R，则在Rt△OCO1中，R2＝2＋22＝8，故三棱锥D－ABC外接球的表面积为4πR2＝32π.