2024届高三数学一轮复习基础夯实练52：空间动态问题突破

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A.eq \f(\r(2),2) B．1 C．2 D.eq \r(2)
2．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱DD1，BB1上的动点(异于所在棱的端点)．则下列结论正确的是( )
A．在点F运动的过程中，直线FC1可能与AE平行
B．直线AC1与EF必然异面
C．设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点C1可能在直线PQ上
D．设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点C1一定不在直线PQ上
3．(2023·广州模拟)点P为棱长是2eq \r(5)的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为( )
A．π B．2π C．4π D．2eq \r(5)π
4．(多选)如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中正确的是( )
A．∠A′DB的大小不会发生变化
B．二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化
C．三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大
D．A′B与DE所成的角先变大后变小
5．在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P－ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是( )
A．[eq \r(3)－1，eq \r(3)＋1] B．[1,3]
C．[eq \r(3)－1,2] D．[1，eq \r(3)＋1]
6.已知正四面体D－ABC，点E，F分别为棱CD，AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则下列说法正确的是( )
A．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而增大
B．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而减小
C．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而增大
D．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而减小
7．(多选)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是( )
A．若MN与平面ABCD所成的角为eq \f(π,4)，则点N的轨迹为圆
B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D．若D1N与AB所成的角为eq \f(π,3)，则点N的轨迹为椭圆
8.如图，在四棱锥P－ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，且AB＝eq \r(2)，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN＋MN取最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥外接球的表面积为( )
A.eq \f(9π,2) B.eq \f(16π,3) C.eq \f(25π,4) D.eq \f(64π,9)
9.已知P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是( )
A．AB⊥PQ
B．平面BPQ∥平面ADD1A1
C．四面体ABPQ的体积为定值
D．AP∥平面CDD1C1
10.已知等边△ABC的边长为6，M，N分别为边AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB中，下列说法正确的是( )
A．直线MN∥平面A′BC
B．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB
C．在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NC
D．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为eq \f(39π,4)
11.如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是( )
A．三棱锥A－A1PD的体积大小与点P的位置有关
B．A1P与平面ACD1相交
C．平面PDB1⊥平面A1BC1
D．AP⊥D1C
12.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若△APC1的面积S＝eq \f(1,2)，则动点P的轨迹是( )
A．圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．
14．在三棱锥A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直且长度均为6，定长为l(l＜4)的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动(含边界)，若线段MN的中点P的轨迹的面积为eq \f(π,2)，则l的值为________.
15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB上的动点．下列结论正确的是______．(填序号)
①AC⊥BC1；
②存在点D，使得AC1∥平面CDB1；
③不存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B；
④三棱锥A1－CDB1的体积是定值．
参考答案
1．D
2．AC [在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝C1D1，DD1＝BB1，B1C1＝AD，连接C1E，AC1，EF，
当点E，F分别是棱DD1，BB1的中点时，
由勾股定理得AE＝eq \r(AD2＋DE2)，C1F＝eq \r(C1B\\al(2,1)＋B1F2)，
故AE＝C1F，
同理可得AF＝C1E，
故四边形AEC1F是平行四边形，
所以在点F运动的过程中，直线FC1可能与AE平行，AC1与EF相交，A正确，B错误；
以C1为坐标原点，C1D1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则当点E，F分别是棱DD1，BB1中点且几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体时，
设棱长为2，延长AE，A1D1交于点M，延长AF，A1B1交于点N，
连接MN，
则C1(0,0,0)，M(2，－2,0)，
N(－2,2,0)，
则eq \(C1M,\s\up6(—→))＝(2，－2,0)，
eq \(NC1,\s\up6(—→))＝(2，－2,0)，
则eq \(C1M,\s\up6(—→))＝eq \(NC1,\s\up6(—→))，
又两向量有公共点C1，
所以C1，M，N三点共线，
故点C1可能在直线PQ上，C正确，D错误．]
3．C
4．AB [设A′D＝a，则DB＝2eq \r(2)－a，A′E＝eq \f(\r(2)a,2)，EC＝2－eq \f(\r(2),2)a，BC2＋CE2＝BE2，A′B2＝A′E2＋BE2，
cs∠A′DB＝eq \f(A′D2＋BD2－A′B2,2·BD·A′D)＝－eq \f(1,2)是定值，∴∠A′DB的大小不会发生变化，故A正确；
由三垂线法作出二面角A′－BD－C的平面角，可知其大小为定值，故B正确；设A′E＝x，则CE＝2－x(0