2023年江苏省南通市如皋市、启东市中考数学一模试卷(含答案)

2023年江苏省南通市如皋市、启东市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有

1．（3分）若向东走10m，记为+10m，则向西走5m记为（　　）

A．﹣5m B．﹣10m C．+5m D．+10m

2．（3分）中国共产党第二十次全国代表大会指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从39800元增加到81000元．数据81000用科学记数法可表示为（　　）

A．81×104 B．8.1×104 C．8.1×105 D．0.81×106

3．（3分）下列算式中，结果为a6的是（　　）

A．a2•a3 B．（a3）2 C．a3+a3 D．（a3）3

4．（3分）如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其主视图是（　　）

A． B． 

C． D．

5．（3分）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（　　）

A．130° B．125° C．100° D．80°

6．（3分）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠BEC的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°

7．（3分）课堂上，老师给同学们布置了10道填空题，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，由图可知，全班同学答对题数的众数为（　　）

A．15 B．18 C．9 D．10

8．（3分）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　）

A．a＞5 B．a＜5 C．a＞5且a≠7 D．a＜5且a≠3

9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm．点P，Q同时从点A出发，点P以4cm/s的速度沿AC向点C运动，点Q以5cm/s的速度沿AB向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作▱APDQ，设运动时间为ts，▱APDQ与△ABC重合部分的面积为Scm2，则下列图象中能大致反映S与t的函数关系的是（　　）

A． B． 

C． D．

10．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝3．在边AC，AB上分别取点D和点E，使DC＝1，∠BDE＝45°，则线段AE的长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）

11．（3分）分解因式：3m3﹣12m＝　               　．

12．（3分）已知圆锥的侧面积为10πcm2，底面圆的半径为2cm，则该圆锥的母线长为　   　cm．

13．（4分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 　                  　．

14．（4分）三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3的度数为 　      　°．

15．（4分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度为 　   　m（结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

16．（4分）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为10m，则这块矩形场地的最大面积为 　     　m2．

17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝．延长AB到D，使，连接CD，则tan∠BCD＝　                　．

18．（4分）如图，直线y＝3x与双曲线交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若S△ABC＝70，则k＝　     　．

三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（12分）（1）计算：（﹣2）2+|﹣3|+；

（2）解不等式组：．

20．（8分）某初中为了解本校学生视力健康状况，组织数学社团按下列步骤来开展统计活动．

【确定调查对象】

数学社团随机抽取本校部分学生进行抽样调查．

【收集整理数据】

按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学社团随机抽取本校部分学生进行调查，绘制了不完整的统计表和统计图如下．

抽取的学生视力状况统计表

【分析数据】

（1）该校共有学生1600人，请估算该校中度视力不良的学生人数；

（2）为更好地保护学生视力，结合上述统计数据，请你提出一条合理化的建议．

21．（10分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD＝BC，AE＝DF，AE∥DF．

（1）求证：△AEC≌△DFB；

（2）若S△AEC＝6，求四边形BECF的面积．

22．（10分）现有甲、乙、丙三个不透明的盒子，甲盒中装有红球、黄球各1个，乙盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，丙盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外无其他差别．现分别从甲、乙、丙三个盒子中任意摸出一个球．

（1）从甲盒中摸出红球的概率为 　                　；

（2）求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．

23．（12分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为⊙O上一点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交⊙O于点D，PO＝4，∠OPC＝30°．

（1）求CD的长；

（2）计算图中阴影部分的面积．

24．（12分）某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（10＜x＜24）．调查发现，线上的销售量为600件；线下的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等；

（3）若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大．

25．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3．E为边AB上一动点，连接DE．作AF⊥DE交矩形ABCD的边于点F，垂足为G．

（1）求证：∠AFB＝∠DEA；

（2）若CF＝1，求AE的长；

（3）点O为矩形ABCD的对称中心，探究OG的取值范围．

26．（13分）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”．

例如，点（2，3）为双曲线y＝的“3级方点”，点（﹣，）为直线y＝的“级方点”．

（1）下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 　     　（只填序号）；

①y＝x；②y＝﹣；③y＝﹣x2+．

（2）判断直线y＝kx+k+的“2级方点”的个数，并说明理由；

（3）已知y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值．

2023年江苏省南通市如皋市、启东市中考数学一模试卷

（参考答案）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有

1．（3分）若向东走10m，记为+10m，则向西走5m记为（　　）

A．﹣5m B．﹣10m C．+5m D．+10m

【解答】解：因为向东走10m，记为+10m，

所以向西走5m记为﹣5m．

故选A．

2．（3分）中国共产党第二十次全国代表大会指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从39800元增加到81000元．数据81000用科学记数法可表示为（　　）

A．81×104 B．8.1×104 C．8.1×105 D．0.81×106

【解答】解：81000＝8.1×104．

故选：B．

3．（3分）下列算式中，结果为a6的是（　　）

A．a2•a3 B．（a3）2 C．a3+a3 D．（a3）3

【解答】解：A．a2⋅a3＝a5，故此选项不合题意；

B． （a3）2＝a6，故此选符合题意；

C．a3+a3＝2a3，故此选项不合题意；

D． （a3）3＝a9，故此选项不合题意；

故选：B．

4．（3分）如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其主视图是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：

．

故选：C．

5．（3分）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（　　）

A．130° B．125° C．100° D．80°

【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，

∵∠AOC＝100°，

∴∠ADC＝∠AOC＝50°，

∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．

故选：A．

6．（3分）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠BEC的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°

【解答】解：如图，作EF∥AB，

∵AB∥EF，AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，

∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，

∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，

∴∠BEC＝85°，

故选：D．

7．（3分）课堂上，老师给同学们布置了10道填空题，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，由图可知，全班同学答对题数的众数为（　　）

A．15 B．18 C．9 D．10

【解答】解：由条形统计图可得，

全班同学答对题数的众数为9，

故选：C．

8．（3分）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　）

A．a＞5 B．a＜5 C．a＞5且a≠7 D．a＜5且a≠3

【解答】解：，

去分母，得1﹣a+2＝x﹣2，

解得x＝5﹣a，

∵关于x的方程的解是正数，

∴5﹣a＞0且5﹣a≠2，

∴a＜5且a≠3．

故选：D．

9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm．点P，Q同时从点A出发，点P以4cm/s的速度沿AC向点C运动，点Q以5cm/s的速度沿AB向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作▱APDQ，设运动时间为ts，▱APDQ与△ABC重合部分的面积为Scm2，则下列图象中能大致反映S与t的函数关系的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm．

∴AC＝＝＝10（cm），

∴sinA＝＝，

如图，连接PQ，

由题意可得，AQ＝5tcm，AP＝4tcm，且0≤t≤2，

则BQ＝（10﹣5t）cm，CP＝（8﹣4t）cm，

∵＝，∠A＝∠A，

∴PQ∥BC，

∴∠APQ＝90°，

在Rt△APQ中，PQ＝AQ•sinA＝5t＝3t（cm），

当点D在线段BC上时，如图，

∵四边形APDQ为平行四边形，

∴AP＝DQ＝4tcm，AP∥DQ，

∵PQ∥BC，且∠C＝90°，

∴四边形CDQP为矩形，

∴CP＝DQ＝（8﹣4t）cm，

∴4t＝8﹣4t，

解得：t＝1，

∴当0≤t≤1时，▱APDQ在△ABC的内部，

此时S＝S▱APDQ＝AP•PQ＝4t•3t＝12t2（cm2）；

当1＜t≤2时，如图，PD交BC于点H，DQ交BC于点G，

∵四边形APDQ为平行四边形，

∴DP＝AQ＝5tcm，AP＝DQ＝4tcm，DP∥AQ，AC∥DQ，

∴∠C＝∠HGD＝90°，

∵PQ∥BH，

∴四边PHBQ为平行四边形，

∴PH＝BQ＝10﹣5tcm，

∴DH＝DP﹣BH＝5t﹣（10﹣5t）＝（10t﹣10）cm，

∵HG∥PQ，

∴，即，

∴HG＝（6t﹣6）cm，DG＝（8t﹣8）cm，

∴S△HGD＝＝＝24（t2﹣2t+1）cm2，

∴S＝S▱APDQ﹣S△HGD＝12t2﹣24（t2﹣2t+1）＝﹣12t2+48t﹣24（cm2）；

综上，，

故选：B．

10．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝3．在边AC，AB上分别取点D和点E，使DC＝1，∠BDE＝45°，则线段AE的长为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝45°，AB＝AC＝3，

∵∠BDE＝45°，

∴∠BDE＝∠A，

∵∠DBE＝∠DBA，

∴△BDE∽△BAD，

∴BD：BA＝BE：BD，

∵∠C＝90°，CD＝1，BC＝3，

∴BD＝＝，

∴：3＝BE：，

∴BE＝，

∴AE＝AB﹣BE＝．

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）

11．（3分）分解因式：3m3﹣12m＝　3m（m﹣2）（m+2）　．

【解答】解：3m3﹣12m

＝3m（m2﹣4）

＝3m（m﹣2）（m+2）．

故答案为：3m（m﹣2）（m+2）．

12．（3分）已知圆锥的侧面积为10πcm2，底面圆的半径为2cm，则该圆锥的母线长为　5　cm．

【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，

圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，

则×4π×R＝10π，

解得，R＝5（cm）

故答案为：5．

13．（4分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 　　．

【解答】解：根据题意得：；

故答案为：．

14．（4分）三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3的度数为 　180　°．

【解答】解：如图所示：

由三角形外角和可得：∠1+∠GAH+∠2+∠EBF+∠3+∠MCN＝360°，

∵三个全等三角形，

∴∠MCN+∠EBF+∠GAH＝180°，

∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°，

∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．

故答案为：180．

15．（4分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度为 　8　m（结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

【解答】解：由题意得：

∠ACD＝90°，∠ADC＝50°，∠BDC＝45°，CD＝40m，

在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝tan50°，

∴AC＝CD•tan50°≈40×1.19＝47.6（m），

在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC＝CD＝40m，

∴AB＝AC﹣BC＝47.6﹣40≈8（m），

即旗杆的高度AB约为8m，

故答案为：8．

16．（4分）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为10m，则这块矩形场地的最大面积为 　32　m2．

【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，

∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，

∵﹣2＜0，

∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，

此时与墙垂直的一边长为4m，与墙平行的一边长为8m，符合题意，

故答案为：32．

17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝．延长AB到D，使，连接CD，则tan∠BCD＝　　．

【解答】解：过点B作BE∥AC，交CD于E，如图，

∵BE∥AC，

∴，∠CBE＝∠ACB＝90°，

∵，

∴，

∴BE＝AC，

在Rt△BCE中，tan∠BCD＝＝，

∵tanA＝，

∴，

∴，

∴tan∠BCD＝．

故答案为：．

18．（4分）如图，直线y＝3x与双曲线交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若S△ABC＝70，则k＝　12　．

【解答】解：作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，EF⊥x轴于F，CN⊥x轴于N，连接OC，设AC交x轴于M，

∵∠CAB＝45°，

∴△AOF为等腰直角三角形，

∴OA⊥OE，OA＝OE，

∴∠EOF+∠AOH＝90°，

∵∠OAH+∠AOH＝90°，

∴∠EOF＝∠OAH，

∴△EOF≌△OAH（AAS），

设OH＝EF＝x，

∵AB：y＝3x，

∴AH＝3x＝OF，

∴EF：AH＝1：3，

∵EF∥AH，

∴MF：MH＝1：4，即MF：（MF+4x）＝1：4，

∴MH＝2x，

∵CN∥EF，

∴NC：MN＝EF：MF＝1：2，

∵点C、A在反比例函数上，

∴NC•ON＝OH•AH，

设NC＝y，

∴MN＝2y，

∴y（2y+5x）＝x•3x，

解得：y＝x或y＝﹣3x（舍去），

∵OA＝OB，

∴S△OAC＝×70＝35，

即OM（AH+CN）＝35，

即×5x（3x+x）＝35，

∴x＝2或x＝﹣2（舍去），

∴OH＝2，AH＝6，

∴k＝12．

故答案为：12．

三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（12分）（1）计算：（﹣2）2+|﹣3|+；

（2）解不等式组：．

【解答】解：（1）原式＝4+3+2+1

＝8+2；

（2）由①得：x＞1，

由②得：x≤2，

则不等式组的解集为1＜x≤2．

20．（8分）某初中为了解本校学生视力健康状况，组织数学社团按下列步骤来开展统计活动．

【确定调查对象】

数学社团随机抽取本校部分学生进行抽样调查．

【收集整理数据】

按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学社团随机抽取本校部分学生进行调查，绘制了不完整的统计表和统计图如下．

抽取的学生视力状况统计表

【分析数据】

（1）该校共有学生1600人，请估算该校中度视力不良的学生人数；

（2）为更好地保护学生视力，结合上述统计数据，请你提出一条合理化的建议．

【解答】解：（1）1600×（1﹣40%）＝960（人），

答：估计该校中度视力不良的学生人数大约有960人；

（2）该校视力不良的学生人数占60%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控（答案不唯一）．

21．（10分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD＝BC，AE＝DF，AE∥DF．

（1）求证：△AEC≌△DFB；

（2）若S△AEC＝6，求四边形BECF的面积．

【解答】（1）证明：∵AE∥DF，

∴∠A＝∠D，

∵AB＝CD，

∴AC＝DB，

在△AEC和△DFB中，

，

∴△AEC≌△DFB（SAS）；

（2）解：在△AEC中，以AC为底作EH为高，

∴S△AEC＝EH•AC，S△BCE＝EH•BC，

∵AB＝CD＝BC，

∴AC＝BC，S△AEC＝6，

∴S△BEC＝S△AEC＝4.5，

∵△AEC≌△DFB，

∴∠ACE＝∠DBF，EC＝FB，

在△BEC和△CFB中，

，

∴△BEC≌△CFB（SAS），

∴S△BEC＝S△CFB，

∴S四边形BECF＝2S△BEC＝9．

22．（10分）现有甲、乙、丙三个不透明的盒子，甲盒中装有红球、黄球各1个，乙盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，丙盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外无其他差别．现分别从甲、乙、丙三个盒子中任意摸出一个球．

（1）从甲盒中摸出红球的概率为 　　；

（2）求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．

【解答】解：（1）从甲盒中摸出红球的概率为，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，

∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为＝．

23．（12分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为⊙O上一点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交⊙O于点D，PO＝4，∠OPC＝30°．

（1）求CD的长；

（2）计算图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）作OE⊥CD于点E，连接OC，OD，

∴CE＝DE，

∵PO＝4，∠OPC＝30°，

∴OE＝PO＝2，

∵直径AB＝8，

∴OD＝4，

∴DE＝＝＝2，

∴CD＝2DE＝4；

（2）∵OD＝2DE，

∴∠DOE＝30°，

∴∠COD＝60°，

∴阴影部分的面积为﹣×4×2＝﹣4．

24．（12分）某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（10＜x＜24）．调查发现，线上的销售量为600件；线下的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等；

（3）若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大．

【解答】解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，

∴设y＝kx+b（k≠0），

将x＝14，y＝1000；x＝13，y＝1100代入得：

，

解得：

∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；

（2）根据题意得：线上销售利润为W1＝600（x﹣10）＝600x﹣6000，

线下销售利润为W2＝（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100x2+3400x﹣24000，

当W1＝W2时，600（x﹣10）＝﹣100x2+3400x﹣24000

解得x＝18或x＝10（舍去），

答：当售价为18元时，线上销售利润与线下销售利润相等；

（3）由（2）知，当10＜x＜18时，W1＞W2，

∴当10＜x＜18时选择线上销售利润大；

当18＜x＜24时，W1＜W2，

∴当18＜x＜24时选择线下销售利润大．

25．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3．E为边AB上一动点，连接DE．作AF⊥DE交矩形ABCD的边于点F，垂足为G．

（1）求证：∠AFB＝∠DEA；

（2）若CF＝1，求AE的长；

（3）点O为矩形ABCD的对称中心，探究OG的取值范围．

【解答】（1）证明：如图1，四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，

∴∠DAB＝∠B＝∠AGE＝90°，

∴∠AFB+∠FAB＝∠DEA+∠AFB＝90°，

∴∠AFB＝∠DEA；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝3．

①如图1，当点F在BC上时，BF＝BC﹣CF＝2．

∵∠AFB＝∠DEA，

∴tan∠AFB＝tan∠DEA．

∴，即，

∴AE＝1；

②如图2，当点F在CD上时，DF＝CD﹣CF＝5．

同（1）可证∠DAF＝∠DEA，

∴tan∠DAF＝tan∠DEA，

∴，即，

∴AE＝，

∴AE＝1或；

（3）解：如图3，取AD的中点H，连接OH，GH，AC，

则OG≥OH﹣HG．

∵∠AGE＝∠AGD＝90°，

∴HG＝AD＝，

∵点O为矩形ABCD的对称中心，

∴点O为AC的中点．

∴OH＝CD＝3．

∴OG≥，

∵AB＝DC＝6，AD＝3，

∴AC＝＝＝3，

当G与A重合时，OG最长，此时OG＝AC＝，

∴．

26．（13分）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”．

例如，点（2，3）为双曲线y＝的“3级方点”，点（﹣，）为直线y＝的“级方点”．

（1）下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 　①③　（只填序号）；

①y＝x；②y＝﹣；③y＝﹣x2+．

（2）判断直线y＝kx+k+的“2级方点”的个数，并说明理由；

（3）已知y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值．

【解答】解：（1）函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点，

①直线y＝x与正方形有两个交点（1，1）和（﹣1，﹣1）；

②反比例函数y＝﹣与正方形有两个交点；

③抛物线y＝﹣x2+与正方形有两个交点（1，﹣）和（﹣1，﹣）．

故答案为：①③；

（2）y＝kx+k+的“2级方点”有两个，

理由：∵y＝kx+k+＝k（x+1）+，

∴函数y＝kx+k+过定点（﹣1，），

由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，

∵点（﹣1，）恰好落在该正方形的内部，直线y＝kx+k+与该正方形必有两个交点，

∴y＝kx+k+的“2级方点”有两个；

（3）∵二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，

∴抛物线的开口向下，顶点为（a﹣1，3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2），

①当抛物线顶点在y＝a时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，

则3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，解得a1＝2，a2＝；

②当抛物线经过点（a，a）时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，

则﹣1+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，解得a1＝，a2＝1（不合题意，舍去），

∴a的值为2，，．