2023年江苏省南通市如皋市、启东市中考数学一模试卷-普通用卷

这是一份2023年江苏省南通市如皋市、启东市中考数学一模试卷-普通用卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省南通市如皋市、启东市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若向东走，记为，则向西走记为(    )A.  B.  C.  D. 2.  中国共产党第二十次全国代表大会指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从元增加到元数据用科学记数法可表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列算式中，结果为的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其主视图是(    )A.
B.
C.
D.
 5.  如图，，，为上三点，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D.
 6.  如图，，，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 7.  课堂上，老师给同学们布置了道填空题，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，由图可知，全班同学答对题数的众数为(    )
A.  B.  C.  D. 8.  关于的方程的解是正数，则的取值范围是(    )A.  B.  C. 且 D. 且9.  如图，中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动作▱，设运动时间为，▱与重合部分的面积为，则下列图象中能大致反映与的函数关系的是(    )A.  B.
C.  D. 10.  如图，在等腰直角三角形中，在边，上分别取点和点，使，，则线段的长为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）11.  分解因式：        ．12.  已知圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则该圆锥的母线长为______ ．13.  孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为______．14.  三个全等三角形按如图所示摆放，则的度数为______
 
 15.  如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处，观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度为______ 结果保留整数，参考数据：，，．
 16.  如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为，则这块矩形场地的最大面积为______ ．
17.  如图，在中，，延长到，使，连接，则 ______ ．
18.  如图，直线与双曲线交于、两点，将直线绕点顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点，若，则 ______ ．
 三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：；
解不等式组：．20.  本小题分
某初中为了解本校学生视力健康状况，组织数学社团按下列步骤来开展统计活动．
【确定调查对象】
数学社团随机抽取本校部分学生进行抽样调查．
【收集整理数据】
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为，，，四个类别数学社团随机抽取本校部分学生进行调查，绘制了不完整的统计表和统计图如下．
抽取的学生视力状况统计表 类别健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良人数【分析数据】
该校共有学生人，请估算该校中度视力不良的学生人数；
为更好地保护学生视力，结合上述统计数据，请你提出一条合理化的建议．
21.  本小题分
如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：≌；
若，求四边形的面积．
22.  本小题分
现有甲、乙、丙三个不透明的盒子，甲盒中装有红球、黄球各个，乙盒中装有红球、黄球、蓝球各个，丙盒中装有红球、蓝球各个，这些球除颜色外无其他差别现分别从甲、乙、丙三个盒子中任意摸出一个球．
从甲盒中摸出红球的概率为______ ；
求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．23.  本小题分
如图，的直径，为上一点，在的延长线上取一点，连接交于点，，．
求的长；
计算图中阴影部分的面积．
24.  本小题分
某商家购进一批产品，成本为元件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为元件调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量单位：件与售价单位：元件满足一次函数关系，部分数据如表： 元件件求与的函数关系式；
求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等；
若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大．25.  本小题分
如图，矩形中，，为边上一动点，连接作交矩形的边于点，垂足为．
求证：；
若，求的长；
点为矩形的对称中心，探究的取值范围．

 26.  本小题分
定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“级方点”．
例如，点为双曲线的“级方点”，点为直线的“级方点”．
下列函数中，其图象的“级方点”恰有两个的是______ 只填序号；
；；．
判断直线的“级方点”的个数，并说明理由；
已知关于的二次函数，当该函数图象的“级方点”恰有三个时，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为向东走，记为，
所以向西走记为．
故选A．
根据正负数的意义，利用“一个量表示正数，那么与它相反意义的量则用负数表示”解答即可．
本题考查正负数表示互为相反意义的量，掌握正负数的意义是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：，故此选项不合题意；
B. ，故此选符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D. ，故此选项不合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项逐一进行判断即可．
本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是熟记相关的运算法则．
 4.【答案】 【解析】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：．
从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
 5.【答案】 【解析】解：如图，在优弧上取点，连接，，
，
，
．
故选：．
首先在上取点，连接，，由圆周角定理即可求得的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得的度数．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：如图，作，
，，
，
，，
，，
，，
，
故选：．
如图，作，利用平行线的性质得，，，即可得出答案．
本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造平行线解决问题．
 7.【答案】 【解析】解：由条形统计图可得，
全班同学答对题数的众数为，
故选：．
根据统计图中的数据，可知做对道的学生最多，从而可以得到全班同学答对题数的众数，本题得以解决．
本题考查条形统计图、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 8.【答案】 【解析】解：，
去分母，得，
解得，
关于的方程的解是正数，
且，
且．
故选：．
将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．
本题考查了分式方程，掌握解方程和分母不能为是关键．
 9.【答案】 【解析】解：在中，，，．
，
，
如图，连接，

由题意可得，，，且，
则，，
，，
，
，
在中，，
当点在线段上时，如图，

四边形为平行四边形，
，，
，且，
四边形为矩形，
，
，
解得：，
当时，▱在的内部，
此时；
当时，如图，交于点，交于点，

四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
四边为平行四边形，
，
，
，
，即，
，，
，
；
综上，，
故选：．
先根据勾股定理求出，由题意可得，，，且，由平行线分线段成比例可知，先求出▱在的内部时的取值范围，当点在线段上时，易得四边形为矩形，根据可列出方程，求得，再分两种情况讨论：当时，▱在的内部，此时；当时，记交于点，交于点，易得四边为平行四边形，，于是，由平行线分线段成比例可得，以此算出，，此时；最后根据得出的函数关系即可判断．
本题主要考查动点问题的函数图象、解直角三角形、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理，理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
∽，
：：，
，，，
，
：：，
，
．
故选：．
由等腰直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出的长，可以证明∽，得到，即可求出的长，得到的长．
本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由∽，求出的长．
 11.【答案】 【解析】解：

．
故答案为：．
利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
 12.【答案】 【解析】解：设圆锥的母线长为，
圆锥的底面周长，
则，
解得，
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 13.【答案】 【解析】解：根据题意得：；
故答案为：．
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺可知：绳子比木条长尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余尺可知：绳子对折后比木条短尺得：；组成方程组即可．
本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．
 14.【答案】 【解析】解：如图所示：
由三角形外角和可得：，
三个全等三角形，
，
，
的度数是．
故答案为：．
直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
 15.【答案】 【解析】解：由题意得：
，，，，
在中，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
即旗杆的高度约为，
故答案为：．
由锐角三角函数定义求出的长，再证，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握仰角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
矩形围栏的面积为，
，
当时，矩形有最大面积为，
此时与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，符合题意，
故答案为：．
设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析可求出答案．
本题考查二次函数的应用，准确识图，掌握二次函数的性质是解题关键．
 17.【答案】 【解析】解：过点作，交于，如图，

，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作，交于，由平行线分线段成比例定理得出，与平行线的性质得出，再由三角函数的定义即可得出结果．
本题考查了解直角三角形平行线分线段成比例定理，通过作辅助线得出是解决问题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：作轴于，交于，轴于，轴于，连接，设交轴于，

，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
设，
：，
，
：：，
，
：：，即：：，
，
，
：：：，
点、在反比例函数上，
，
设，
，
，
解得：或舍去，
，
，
即，
即，
或舍去，
，，
．
故答案为：．
作轴于，交于，轴于，轴于，连接，设交轴于，证明≌，求出与的比，再求出的份数，证明出与的比，表示出的份数，利用的面积求出，即可求出．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键．
 19.【答案】解：原式
；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 20.【答案】解：人，
答：估计该校中度视力不良的学生人数大约有人；
该校视力不良的学生人数占，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控答案不唯一． 【解析】用乘视力不良的百分比即可；
建议合理即可．
本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
 21.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：在中，以为底作为高，

，，
，
，，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
． 【解析】根据全等三角形的判定方法“”可得结论；
在中，以为底作为高，利用全等三角形的判定与性质．可得答案．
此题考查的是全等三角形的判定与性质、正确作出辅助线是解决此题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：从甲盒中摸出红球的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中摸出的三个球中至少有一个红球的结果有种，
摸出的三个球中至少有一个红球的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中摸出的三个球中至少有一个红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 23.【答案】解：作于点，连接，，

，
，，
，
直径，
，
，
；
，
，
，
阴影部分的面积为． 【解析】作于点，连接，，根据垂径定理得，再根据，，得，再根据勾股定理计算即可；
根据阴影部分的面积为扇形的面积减去的面积即可．
本题考查了垂径定理，扇形面积的计算，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
 24.【答案】解： 与满足一次函数的关系，
设 ，
将，；，代入得：
，
解得：
与的函数关系式为： ；
根据题意得：线上销售利润为，
线下销售利润为，
当时，
解得或舍去，
答：当售价为元时，线上销售利润与线下销售利润相等；
由知，当时，，
当时选择线上销售利润大；
当时，，
当时选择线下销售利润大． 【解析】设 ，用待定系数法求解即可；
先根据利润单件利润销售量列出线上、线下的函数解析式，再令利润相等解方程即可；
根据的结论和二次函数的性质得出结论．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
 25.【答案】证明：如图，四边形是矩形，，

，
，
；
解：四边形是矩形，
，．
如图，当点在上时，．
，
．
，即，
；
如图，当点在上时，．

同可证，
，
，即，
，
或；
解：如图，取的中点，连接，，，

则．
，
，
点为矩形的对称中心，
点为的中点．
．
，
，，
，
当与重合时，最长，此时，
． 【解析】由矩形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论；
如图，当点在上时，；如图，当点在上时，则可求出答案；
取的中点，连接，，，则当与重合时，最长，此时，则可求出答案．
此题考查矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 26.【答案】 【解析】解：函数图象的“级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为且一边平行于轴的正方形上的点，
直线与正方形有两个交点和；
反比例函数与正方形有两个交点；
抛物线与正方形有两个交点和
故答案为：；
的“级方点”有两个，
理由：，
函数过定点，
由“级方点”的定义可知，函数图象的“级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为且一边平行于轴的正方形上的点，
点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点，
的“级方点”有两个；
二次函数，
抛物线的开口向下，顶点为，
当抛物线顶点在时，抛物线恰有三个“级方点”，如图，
则，解得，；
当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“级方点”，如图，
则，解得，不合题意，舍去，
的值为，，．
根据定义求得函数的“级方点”，即可得到答案；
函数过定点，由“级方点”的定义可知，函数图象的“级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为且一边平行于轴的正方形上的点，点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点，故的“级方点”有两个；
若抛物线恰有三个“级方点”，则抛物线顶点在时或抛物线经过点时两种情况，据此得到关于的方程，解方程即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．