2022-2023学年河南省周口市沈丘县重点中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年河南省周口市沈丘县重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则(    )

A.  B. 或 C.  D.

2.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某村镇道路上有盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中不相邻的盏，但考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数有(    )

A.  B.  C.  D.

4.  从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数互质的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设随机变量的概率分布列为：则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一个袋子中个大小相同的球，其中有个黄球，个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从(    )

A. 二项分布，且 B. 两点分布，且
C. 超几何分布，且 D. 超几何分布，且

7.  如图，这是第届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的现给这个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色若有种颜色可供选择，则恰用种颜色的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若的展开式中各项的二项式系数之和为，且第项的系数最大，则的取值范围为(    )

A. ， B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列问题中不属于排列问题的是(    )

A. 从个人中选出人去劳动
B. 从个人中选出人去参加数学竞赛
C. 从班级内名男生中选出人组成一个篮球队
D. 从数字、、、中任取个不同的数做中的底数与真数

10.  已知事件，，且，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  下列说法中正确的是(    )

A. 将个相同的小球放入个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有种放法
B. 被除后的余数为
C. 若，则
D. 抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点的横坐标，另一个的点数为点的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，则点在圆内的次数的均值为

12.  “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中就有出现，比欧洲发现早年左右如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和则下列命题中正确的是(    )

A. 在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B. 由“第行所有数之和为”猜想：
C. 在“杨辉三角”中，从第行起，前行每一行的第个数之和为
D. 存在，使得为等差数列

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知随机变量服从正态分布，且，则______．

14.  设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为和现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为______ ．

15.  甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局，且每一局比赛甲赢的概率都是，随机变量表示最终比赛的局数，若，则的最大值为______ ．

16.  的展开式中的系数为______ 用数字作答．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
求值：用数字作答
；
．

18.  本小题分
已知的展开式的二项式系数和为
求的值；
求展开式中二项式系数最大的项．

19.  本小题分
甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项记事件为“恰有两名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”求：
“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
“四名同学最终只报了两个项目”的概率；
．

20.  本小题分
某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司可正确回答其中道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
求甲、乙两家公司共答对道题目的概率；
设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

21.  本小题分
某医药企业使用新技术对某款血夜试剂进行试生产．
在试产初期，该款血液试剂的Ⅰ批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检已知该款血夜试剂在生产中，前三道工序的次品率分别为．
求批次的血液试剂经过前三道工序后的次品率；
第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验已知批次Ⅰ的血液试剂智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率百分号前保留两位小数；
已知某批次血液试剂的次品率为，设个血液试剂中恰有个为不合格品的概率为，求的最大值点．

22.  本小题分
年河南、陕西、山西、四川、云南、宁夏、青海、内蒙古省区公布新高考改革方案，这省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“”高考模式“”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语个科目成绩和考生选择的科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为分“”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩；“”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理门中选择门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．
若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；
某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生名参加语数外的网络测试、满分分，并给前名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布．
考生甲得知他的成绩为分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为分，分以上共有人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
考生丙得知他的实际成绩为分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪．
附：，，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，则或，
所以或．
故选：．
由组合数的性质可求得的值．
本题主要考查组合数公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，，所以．
故选：．
根据给定条件，利用条件概率公式计算作答．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，盏照明路灯，关闭其中不相邻的盏，但两端的路灯不能关闭，
等价于先将盏亮着的灯排好，中间有个空位，在其中任选个，安排盏关闭的灯，有种方案．
故选：．
根据题意，原问题等价于在将盏亮着的灯的中间个空位中，任选个，安排盏关闭的灯，由组合数公式计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，注意原问题的转化，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．
本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．

【解答】

解：从至的个整数中任取两个数共有种方式，
其中互质的有：，，，，，，，，，，，，，，共种，
故所求概率为．

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合分布列，以及对立事件概率和为，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于是不放回地随机摸出个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，
所以．
故选：．
利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解．
本题主要考查超几何分布的期望公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：若按要求用种颜色任意涂色：
先涂中间块，有种选择，再涂上块，有种选择，
再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有种选择；
若下块与上块涂不同颜色，则下块有种选择，左块和右块均有种选择，
则共有种方法，
若恰只用其中种颜色涂色：
先在种颜色中任选种颜色，有种选择，
先涂中间块，有种选择，再涂上块，有种选择，再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有种选择；
为恰好用尽种颜色，则右块只有种选择，
若下块与上块涂不同颜色，则下块有种选择，左块和右块均只有种选择，
则共有种方法，
故恰用种颜色的概率是．
故选：．
先求用种颜色任意涂色的方法总数，再求恰好用完种颜色涂色的方法总数，最后按照古典概型求概率即可．
本题主要考查组合及简单计数问题，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：的展开式中各项的二项式系数之和为，，
且第项的系数最大，则，求得，
则的取值范围为，
故选：．
由题意利用二项式系数的性质求得的值，再根据第项的系数最大，求得的取值范围．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项，从个人中选出人去劳动，与顺序无关，故错误；
选项，从个人中选出人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；
选项，从班级内名男生中选出人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；
选项，从数字、、、中任取个不同的数做中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确．
故选：．
利用排列组合的定义逐项判断即可求解．
本题考查排列组合的定义，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由，故A正确；
对于，由，故B错误；
对于，，由，，
则，故C正确；D错误．
故选：．
利用概率的乘法公式求解即可判断；利用条件概率的性质求解即可判断；先求得，，再根据全概率公式求解即可，．
本题考查条件概率相关知识，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：选一个盒子放两个球，另外两个盒子放一个球，共有种放法，
即将个相同的小球放入个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有种放法，故A正确；
对于，

，
展开式中只有最后一项不是的倍数，所以被除后的余数为，故B错误；
对于：在中，
令，得，
令，得，
两式相加除以，得，故C正确；
对于：在一次抛掷两枚骰子的过程中，点共有种情况，其中在圆内的有，，，，，，，，共种，所以掷这两枚骰子一次，点在圆内的概率为．
因为，所以的均值为，故D正确，
故选：．
利用排列、组合求解方法数判断；利用二项式定理求解余数判断的正误；利用赋值法求解判断的正误；利用二项分布求解期望判断即可．
本题考查排列、组合的应用，二项式定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，错；
对于选项，由二项式系数的性质知，对；
在“杨辉三角”中，当时，从第行起，
每一行的第个数之和为，错；
对于选项，取，则，
因为，所以数列为公差为的等差数列，对．
故选：．
根据“杨辉三角”与组合数的关系可判断选项；利用二项式系数的性质可判断选项；取，利用组合数的性质可判断选项．
本题主要考查归纳推理，考查转化能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：随机变量服从正态分布，
，
，
故答案为：．
利用正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：令表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，
显然，，是样本空间的一个划分，且有，，由于，，
设，
由全概率公式得：，
而，故．
故答案为：．
令表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，设，由全概率公式即可求解．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题可知，随机变量的取值可能为，，
，
，
所以，
而，所以当时，的最大值为．
故答案为：．
依题可知，随机变量的取值可能为，，再求出对应的概率，即可得到的表达式，然后根据二次函数的性质即可解出．
本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，考查计算能力，属于难题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
所以由二项式定理可得多项式的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为．
故答案为：．
化简已知关系式为：，然后根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：；
． 

【解析】根据排列数、组合数的计算公式求得正确答案；
根据组合数的性质求得正确答案．
本题主要考查了排列数、组合数的计算公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意可得，则；
因为，所以展开式中二项式系数最大项为第项，
即． 

【解析】根据二项式系数和建立方程即可求解：根据的值以及二项式系数性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：“每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，故此时报名情况有种；
“四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目，
报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，
故共有种报名情况，
则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是；
事件为“恰有两名同学所报项目相同”，有种报名方法，则，
事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，
若，同时发生，即恰有名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目，
则有种报名方法，则，故． 

【解析】两人报同一个项目，故报名情况有种情况，计算得到答案．
报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，计算得到答案．
计算，，再根据条件概率公式计算即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意可知，所求概率．
设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为，，，
，，．
则的分布列为：

，
．
设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为，，，，
，，
，，
则的分布列为：

或，
，
由，可得，甲公司竞标成功的可能性更大． 

【解析】利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对道题目的概率．
设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为，，求出概率，得到的分布列求解期望；
设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为，，，求出概率得到分布列，求出期望即可，比较即可得结论．
本题考查独立重复试验概率以及分布列期望的求法，考查计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：批次Ⅰ的血夜试剂经过前三道工序后的次品率为：
，
设批次Ⅰ的血夜试剂智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由已知得，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品为事件，
则；
个血液试剂中恰有个不合格的概率，
因此，
令，得，
当时，；当时，
所以的最大值为． 

【解析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，以及对立事件概率和为，即可求解；根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解；
求出个血液试剂中恰有个为不合格品的概率为，然后利用导数求解的最大值点，即可求出．
本题考查独立事件的概率公式的应用，条件概率公式的应用，利用导数求解概率的最值，属中档题．
 

22.【答案】解：根据题意，记选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”为事件，
从物理、历史里选一门，生物学、化学、思想政治、地理门中选择门的选法有种，
事件即从剩余生物学、思想政治、化学三个科目中选择一个，有种等可能选法，
所以．
根据题意，设此次网络测试的成绩
由于此次测试平均成绩为分，则，
因为，且，即，
即，，．
又，，
所以前名学生成绩的最低分低于，
而考生甲的成绩为分分，则甲同学能够获得荣誉证书．
若考生乙所说为真结果是开放的，只要统计理由充分，即可，
则，，
而，所以，
从而．
理由：根据统计学中的原则，认为为小概率事件，
即丙同学的成绩为分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假．
理由：，
名学生中成绩大于分的约有人，
这说明名考生中，也会出现约人的成绩高于分的“极端”样本，
由于样本的随机性，丙同学的成绩为分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真． 

【解析】记选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”为事件，分析全部的选法数目和事件包含的选法数目，由古典概型公式计算可得答案；
由正态分布曲线的性质分析、的值，由此可以分析前名学生成绩的最低分，由此可得结论；
结果是开放的，只要统计理由充分，即可．
本题考查正态分布的应用，涉及古典概型的计算，属于中档题．