2012-2021高考真题分类汇编及详解——导数解答题

    导数大题

2022年题组

1.（甲卷）已知函数．

（1）若,求的取值范围；

（2）证明：若有两个零点，，则．

【答案】（1）；（2）见证明；

【解析】（1）定义域为，

令，所以时，单调递减；

时，单调递增；，要使得恒成立

即满足：.

（2）由（1）知要使得有两个零点，则

假设.要证明即证明，又由于在单增，即证明.下面构造函数

由于，又函数在单减，

.

   时在单调递增，而

   得证．

2.（乙卷）已知函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1),所以在点处的切线方程为;

(2).

(I)当时，当时，成立，所以在单调递增，且，故时，无零点，舍去。

(II)当时,当时,，由题意可知，必有，即.

(i)当时, ，

令，当时，，故，故，单调递增，在无零点，舍去。

(ii)当时，，令，

①当时，，单调递增，且，，故，使得，当时，，，单调递减；时，，，单调递增；又，且当时,，此时在上有一个零点；

②当时，，由单调递增，且，，故，使得，

当时，，单调递减，

时，，单调递增；

又，，

故，使得，

当时，，，单调递增，

时，，，单调递减；

又，且当时,，此时在上有一个零点；

综上，

3.（新高考1卷） 已知函数和有相同的最小值.

（1）求；

（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【解析】（1），

①时，恒成立，所以在上单调递增，即没有最小值.

该类情况应舍去.

②时，在上小于0，在上大于0，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处有最小值为，

所以在上小于0，在上大于0，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处有最小值为，

因为和有相同的最小值.

所以有，即

因为，所以上式等价于，

令，

则恒成立，所以在上单调递增

又因为且，所以.

（2）证明：由（1），，

且在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，且.

①时，此时，显然与两条曲线和共有0个交点，不符合题意；

②时，此时，与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；

③时，首先，证明与曲线有2个交点：

即证明有2个零点，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为，，，

（令，则，）

所以明在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为.

其次，证明与曲线和有2个交点：

即证明有2个零点，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为，，，

（令，则，）

所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为.

再次，证明存在使得：

因为，所以，

若，则，即，

所以只需证明在上有解即可，

即在上有零点，

因为，，

所以在上存在零点，取一零点为，令即可，

此时取

则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点

最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列：

因为，

所以，

又因为在上单调递减，，即，所以

同理，因为，

又因为在上单调递增，即，，所以，

又因为，所以，

即直线，与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

4.（新高考2卷）

已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围；

（3）设，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．

【解析】（1）

当时，单调递减；

当时，单调递增．

（2）令

对恒成立

又

令

则

①   若，即，

所以，使得当时，有单调递增

，矛盾

②   若，即时，

在上单调递减，，符合题意．

综上所述，实数的取值范围是．

（3）求导易得

令

即，证毕

2012-2021年题组

1．(2021年高考全国甲卷理科)已知且，函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

2．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，已知是函数的极值点．

(1)求a；

(2)设函数．证明:．

3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数．

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围．

4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数f(x)=sin2xsin2x．

(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

(2)证明：；

(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤

5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

(1)求b．

(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．

7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数．

讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；

设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．

8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知函数，为的导数．证明：

(1)在区间存在唯一极大值点；

(2)有且仅有2个零点．

9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数．

(1)若，证明：当时，，当时，；

(2)若是的极大值点，求．

10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)

已知函数．

(1)若，证明：当时，；

(2)若在只有一个零点，求．

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若存在两个极值点，证明：．

12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知函数．

(1)讨论的单调性;

(2)若有两个零点,求的取值范围．

(二)选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．

13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)(12分)已知函数．

(1)若，求的值；

(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)已知函数且．

(1)求 ；

(2)证明：存在唯一的极大值点，且．

15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数,其中,记的最大值为.

(Ⅰ)求;

(Ⅱ)求;

(Ⅲ)证明.

16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分12分)(I)讨论函数 的单调性，并证明当时，；

(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．

17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分12分)已知函数有两个零点．

(I)求a的取值范围；

(II)设是的两个零点，证明：．

18．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)设函数．

(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；

(Ⅱ)若对于任意，都有，求的取值范围．

19．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)

已知函数

(Ⅰ)当为何值时，轴为曲线 的切线；

(Ⅱ)用 表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数．

20．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)

已知函数=．

(Ⅰ)讨论的单调性；

(Ⅱ)设，当时，, 求的最大值；

(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)

21．(2014高考数学课标1理科)设函数,曲线在点处的切线．

(1)求;

(2)证明:．

22．(2013高考数学新课标2理科)已知函数．

(1)设是的极值点，求，并讨论的单调性；

(2)当时，证明．

23．(2013高考数学新课标1理科)已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线

(Ⅰ)求，，，的值

(Ⅱ)若≥－2时，≤，求的取值范围。

24．(2012高考数学新课标理科)已知函数满足满足．

(1)求的解析式及单调区间；

(2)若，求的最大值．