数学人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂达标检测题

第六章　6.2　6.2.2、3

A组·素养自测

一、选择题

1．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(　C　)

A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)

C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)

[解析]　2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b＝(－1,3)．

2．下列各式正确的是(　B　)

A．若a＝(－2,4)，b＝(3,4)，则a－b＝(1,0)

B．若a＝(5,2)，b＝(2,4)，则b－a＝(－3,2)

C．若a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋b＝(0,1)

D．若a＝(1,1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(2,1)

[解析]　选项A错误，a－b＝(－5,0)；

选项B正确；选项C错误，a＋b＝(1,1)；选项D错误，a＋b＝(2，－1)．

3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　C　)

A． B．

C．(－8,1) D．(8,1)

[解析]　＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)．

4．已知点A(0,1)，B(4,0)，向量＝(－2，－2)，则向量等于(　A　)

A．(－6，－1) B．(6,1)

C．(2，－1) D．(－2，－1)

[解析]　设C(x，y)，则＝－＝(x，y－1)＝(－2，－2)，

即x＝－2，y＝－1，故C(－2，－1)，

则＝－＝(－6，－1)．

5．(多选题)给出下面几种说法，其中正确的是(　ABD　)

A．相等向量的坐标相同

B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标

C．一个坐标对应于唯一的一个向量

D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应

[解析]　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．

二、填空题

6．已知点A(1，－2)，若向量＝(6,9)，则点B的坐标为(7,7)__．

[解析]　由＝(6,9)，所以＝＋＝(1，－2)＋(6,9)＝(7,7)．

7．如图，向量a，b，c的坐标分别是__(－4,0)__，__(0,6)__，__(－2，－5)__．

[解析]　将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，

∴a＝(－4,0)，b＝0·i＋6j，

∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，

∴c＝(－2，－5)．

8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝__(－3，－5)__．

[解析]　∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．

三、解答题

9．已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．

[解析]　由题知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，所以B．x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，所以D．所以＝，＝．

10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(1＋3t,2＋3t)，及＝＋，问t为何值时，

(1)点P在x轴上？

(2)点P在y轴上？

(3)点P在第二象限？

[解析]　由题意＝(1,2)＋(1＋3t,2＋3t)＝(2＋3t，4＋3t)．

(1)当点P在x轴上时，4＋3t＝0，得t＝－．

(2)当点P在y轴上时，2＋3t＝0，得t＝－．

(3)当点P在第二象限时，解得－＜t＜－．

B组·素养提升

一、选择题

1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　C　)

A．平行于x轴

B．平行于第一、三象限的角平分线

C．平行于y轴

D．平行于第二、四象限的角平分线

[解析]　a＋b＝(0,1＋x2)，与y轴平行．

2．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m⊗n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a⊗b，那么向量b等于(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a⊗b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝．

3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(　A　)

A．(4,5) B．(5，－4)

C．(3,2) D．(1,3)

[解析]　设D点坐标为(x，y)，

则＝(4,3)，＝(x，y－2)，

由＝，得

∴∴D(4,5)．

4．(多选题)在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　AC　)

A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j

C．＝－5i＋j D．＝5i＋j

[解析]　A，C正确，＝－3i＋4j，故B错，＝－＝2i＋3j－(－3i＋4j)＝5i－j．

故D错，故选AC．

二、填空题

5．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为__(－3，3)__．

[解析]　设点A(x，y)，则

x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，

y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，

即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．

6．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，关于坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：

①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；

②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；

③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；

④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．

其中，正确结论有__1__个．

[解析]　由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．

三、解答题

7．如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，用向量的方法证明：DE∥BC．

[解析]　如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，

设||＝1，则||＝1，||＝2．

因为CE⊥AB，而AD＝DC，所以四边形AECD为正方形，所以可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0，1)，D(－1,1)．因为＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，所以＝B，所以∥，即DE∥BC．

8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(5λ＋2,7λ＋3)，若第四象限的点P满足＝＋，求实数λ的取值范围．

[解析]　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，

又＝＋＝(3,1)＋(5λ，7λ)

＝(3＋5λ，1＋7λ)，

于是由＝＋，

可得(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

所以即

因为点P在第四象限，

所以解得－1＜λ＜－．

故所求实数λ的取值范围是．