高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试

第六章　6.3　6.3.4

A组·素养自测

一、选择题

1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　C　)

A．－ B．

C．－或 D．0

[解析]　由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－．

2．已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，则实数y的值为(　C　)

A．5 B．6

C．7 D．8

[解析]　＝(3，y－1)，又∥a，

所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7．

3．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为(　A　)

A．30° B．60°

C．45° D．75°

[解析]　∵a∥b，∴sin 2α＝×＝，

∴sin α＝±．

∵α为锐角，∴α＝30°．

4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量共线的单位向量是(　B　)

A．(3，－4) B．±

C．(－6,8) D．

[解析]　因为＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与共线，但A，C中向量不是单位向量，所以B选项正确．

5．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝(　A　)

A．－ B．

C．2 D．－2

[解析]　2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，

a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)

∵(2a＋b)∥(a－mb)

∴－2＝(1＋3m)×4∴6m＝－3，解得m＝－．

二、填空题

6．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝____．

[解析]　由已知，a∥b，则2×4＝5λ，故λ＝．

7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为__λ＝u__．

[解析]　∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，

∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，

λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．

又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，

∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0．∴λ＝u．

8．已知a＝(1,1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，则实数λ的最小值是__－__．

[解析]　因为a∥b，所以x2－x－λ＝0，即λ＝x2－x＝2－≥－．

三、解答题

9．已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，在直线AB上求一点P使||＝||．

[解析]　设点P的坐标为(x，y)，

①若点P在线段AB上，则＝，

∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y)．

解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．

②若点P在线段BA的延长线上，

则＝－，

∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y)．

解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．

综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．

10．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n；

(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k．

[解析]　(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．

(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，

∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．

∴解得

∴m＝，n＝．

(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．

又∵(a＋kc)∥(2b－a)，

∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0．

∴k＝－．

B组·素养提升

一、选择题

1．如图，已知||＝||＝1，||＝，⊥，∠AOC＝30°，若＝x＋y，则x＋y＝(　C　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，

根据条件不妨设A(1,0)，则B，C，则由＝x＋y得＝x(1,0)＋y，所以

解得x＝2，y＝1，所以x＋y＝3．

2．(2022·合肥高一检测)如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，＝λ＋μ，则λ－μ的最小值是(　D　)

A．0 B．

C．2 D．－1

[解析]　以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(1,0)，C，设P(cos θ，sin θ)，(0°≤θ≤150°)，

因为＝λ＋μ，

所以(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ，

于是，

解得λ＝cos θ＋sin θ，μ＝2sin θ，

那么λ－μ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋60°)，

因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，

故sin(θ＋60°)≥－，

因此λ－μ的最小值为－1．

3．(多选题)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　AD　)

A．k＝－1 B．k＝1

C．c与d同向 D．c与d反向

[解析]　∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴∴．∴c＝－d，

∴c与d反向．

4．(多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点构成三角形，则实数k的值可能为(　ABD　)

A．k＝－2 B．k＝

C．k＝1 D．k＝－1

[解析]　因为若A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，

即k＝1．故选ABD．

二、填空题

5．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝__1__．

[解析]　a－2b＝(，3)．因为a－2b与c共线，

所以＝，解得k＝1．

6．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||，则求点P的坐标为____．

[解析]　设点P的坐标为(x，y)，

由于点P在线段P1P2上，则有＝，

又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，

由题意得解得

∴点P的坐标为．

三、解答题

7．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝．

(1)求E、F的坐标；

(2)判断与是否共线．

[解析]　(1)设E(x1，y1)、F(x2，y2)，

依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)．

由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)＝，

即，解得，∴E．

由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)．

∴，解得∴F(，0)，

即E点的坐标为，F点的坐标为(，0)．

(2)由(1)可知＝－＝－＝，(O为坐标原点)，

又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，

即与共线．

8．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2．

(1)设＝x＋y，求x－y的值；

(2)若点P在OD边上运动(包括端点)，则求|＋2＋|的最大值．

[解析]　(1)由题意得：两个正六边形全等，＝ ，

则＝＋＝＋＝＋－＝2－，

故由＝x＋y，可得x＝－1，y＝2，x－y＝－3 ；

(2)如图，以O为坐标原点，FC为x轴，OI为y轴建立平面直角坐标系，

则A(，－3)，B(2，－2)，C(2，0)，D(，1)，则＝(－，3)，＝(，3) ，

由于直线OD的方程为y＝x ，故设P点坐标为，0≤m≤ ，

则＝，

所以＋2＋＝，

则|＋2＋|＝＝，

由于0≤m≤，此时函数y＝m2＋m＋124为增函数，

故当m＝时，y＝m2＋m＋124取到最大值为144，

所以|＋2＋|的最大值为12．