高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章　6.3　6.3.5A组·素养自测一、选择题1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于(　B　)A．－1 B．0C．1 D．2[解析]　∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0．2．(2021·全国甲卷改编)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb．若a⊥c，则k＝(　B　)A． B．－C． D．－[解析]　c＝(3＋k,1)，a·c＝0⇔3(3＋k)＋1＝0．所以k＝－．3．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝(　C　)A．1 B．C．2 D．4[解析]　由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0．故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3．所以，|a|＝＝＝2．4．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于(　C　)A．－1＋ B．－1－C．－1± D．1[解析]　∵|ka－b|＝，|a＋b|＝＝，∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，又ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos 120°＝，即－＝，化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±．5．(2022·乐山高一检测)已知＝(－5,4)，＝(3，－2)，BC边的中点为D，则AD的长为(　D　)A． B．1C．2 D．[解析]　因为＝(－5,4)，＝(3，－2)，则＝(＋)＝(－1,1)；所以AD的长为：＝．二、填空题6．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos 〈a，b〉＝__－__．[解析]　∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝＝2，|b|＝＝10．∴cos 〈a，b〉＝＝＝－．7．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝__1__．[解析]　cos ＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．8．(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝____；·＝__－1__．[解析]　以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)，＝(＋)＝(2,0)＋(2,2)＝(2,1)，则点P(2,1)，∴＝(－2,1)，＝(0，－1)，因此，||＝＝，·＝0×(－2)＋1×(－1)＝－1．三、解答题9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值．[解析]　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0．即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19．10．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．[解析]　(1)∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴·＝3×(－1)＋3×6＝15．又||＝＝3，||＝＝，∴cos ∠BAC＝＝＝．(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5．设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－．又0≤θ≤π，∴θ＝．B组·素养提升一、选择题1．(多选题)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是(　AC　)A．线段AB的中点的广义坐标为B．A、B两点间的距离为C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1D．向量垂直于的充要条件是x1x2＋y1y2＝0[解析]　由已知得＝x1e1＋y1e2，＝x2e1＋y2e2，则线段AB的中点C满足＝(＋)＝e1＋e2，所以点C的广义坐标为，故A正确；＝－＝(x2－x1)e1＋(y2－y1)e2，由于e1·e2＝0不一定成立，所以||＝不一定成立，故B错误；若向量平行于向量，则存在实数λ，使得＝λ，x1e1＋y1e2＝λ(x2e1＋y2e2)，因为e1，e2不共线，所以x1＝λx2且y1＝λy2，所以x1y2＝x2y1，故C正确；向量垂直于的充要条件是(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)＝0，x1x2e＋(x1y2＋y1x2)e1·e2＋y1y2e＝0，显然不是x1x2＋y1y2＝0，故D不正确．2．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　C　)A．－ B．C．或－ D．或[解析]　∵tan α＝－2，∴可设P(x，－2x)，cos 〈，〉＝＝，当x＞0时，cos 〈，〉＝，当x＜0时，cos 〈，〉＝－．3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　D　)A． B．C． D．[解析]　不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D．4．(多选题)设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b＝，若两个向量a＋b与a－b的模相等，则角α＝(　AC　)A． B．C．π D．π[解析]　|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，所以－cos α＋sin α＝0，所以tan α＝．又0≤α＜2π，所以α＝或α＝．故选AC．二、填空题5．已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__2__．[解析]　∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝，|b|2＝1，∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2．6．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos ∠DOE的值为____．[解析]　法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得＝，＝．故cos ∠DOE＝＝＝．法二：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos ∠DOE＝＝．三、解答题7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ．[解析]　(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20．由c∥a和|c|＝2，可得解得或故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1．又θ∈[0，π]，∴θ＝π．8．在△ABC中，已知A(3,1)，B(1,0)，C(2,3)．(1)判断△ABC的形状；(2)设O为坐标原点，＝m(m∈R)，且(－m)∥，求||．[解析]　(1)由两点间的距离公式，得|AB|＝|AC|＝．∵＝(－2，－1)，＝(－1,2)，∴·＝2－2＝0，即AB⊥AC．∴△ABC为等腰直角三角形．(2)由题可知＝(2,3)，＝(1,3)，则－m＝(－2－2m，－1－3m)．又(－m)∥，则有3(－2－2m)＋(1＋3m)＝0，解得m＝－，由两点间的距离公式，得|OC|＝．∴||＝．∴||＝|m|·||＝．