人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时随堂练习题

第六章　6.4　6.4.3　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．已知△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c＝(　C　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C．2或 D．或

[解析]　由正弦定理＝，得＝，

∴sin B＝．

∵b＞a，∴B＝60°或B＝120°．当B＝60°时，C＝90°，此时c＝2．当B＝120°时，C＝30°，此时c＝a＝．故选C．

2．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sin A＝(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　由已知，得＝×2××sin A，

∴sin A＝．

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　B　)

A． B．5

C．6 D．7

[解析]　连接BD，在△BCD中，由已知条件，知

∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5．故选B．

4．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　D　)

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

[解析]　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝．又角A是锐角，所以A＝60°．又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C．故△ABC为等边三角形，故选D．

5．(多选题)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为(　AC　)

A．60° B．30°

C．120° D．150°

[解析]　由正弦定理可知＝，

∴sin B＝＝＝，

∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°．

二、填空题

6．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为__2 cm　__．

[解析]　∵＝2R，

∴BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2(cm)．

7．(2022·上海高一检测)在△ABC中，若AB＝2，∠B＝，∠C＝，则BC＝____．

[解析]　∵A＝π－B－C＝π－－＝．由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝．

8．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为____．

[解析]　由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，整理得：

AC2＋5·AC－24＝0，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，

再由正弦定理可得＝＝．

三、解答题

9．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求△ABC中其他边与角的大小．

[解析]　由正弦定理，得＝，

∴sin C＝＝＝，

∵因为0°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°．

当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；

当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1．

∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，

C＝120°．

10．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．

(1)求C的大小；

(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值．

[解析]　(1)∵＝，＝，

∴sin C＝cos C．∴tan C＝．

又∵C∈(0，π)，∴C＝．

(2)∵·＝||·||cos C＝ab＝4，∴ab＝8．

又∵a＋b＝6，由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12，∴c＝2．

B组·素养提升

一、选择题

1．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A与B的大小关系为(　A　)

A．A＞B B．A＜B

C．A≥B D．A，B的大小关系不确定

[解析]　设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

∵sin A＞sin B，∴2Rsin A＞2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，即a＞b，故A＞B．

2．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　由正弦定理，得c＝ ＝，∵B＝180°－30°－45°＝105°，

sin 105°＝sin (60°＋45°)

＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，

∴S△ABC＝acsin B＝．

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝(　D　)

A．－ B．

C． －1 D． 1

[解析]　∵acos A＝bsin B，

∴sin Acos A＝sin 2B＝1－cos2B，

∴sin Acos A＋cos2B＝1．

4．(多选题)在△ABC中，A＝60°，a＝4，若此三角形有唯一解，则b的可能情况是(　BD　)

A．b＝7 B．b＝8

C．b＝9 D．0＜b≤4

[解析]　若B＜A，则三角形有唯一解，此时0＜b＜4，

若B＞A，则当bsin A＝bsin 60°＝b＝a＝4，即b＝8时有唯一解，

若B＝A，即b＝a＝4时，三角形也有唯一解．

综上，当b＝8或0＜b≤4时三角形有唯一解，故选BD．

二、填空题

5．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝__1__．

[解析]　设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k＞0)，由正弦定理，得＝＝1．

6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝____．

[解析]　由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，

得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A．

∴2sin Bcos B＝sin (A＋C)．

又A＋B＋C＝π，

∴A＋C＝π－B．

∴2sin Bcos B＝sin (π－B)＝sin B．

又sin B≠0，

∴cos B＝．

又∵0＜B＜π，∴B＝．

三、解答题

7．(2022·全国乙卷) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．

(1)证明：2a2＝b2＋c2；

(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．

[解析]　(1)因为sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，

所以sin Csin Acos B－sin Csin Bcos A＝sin Bsin Ccos A－sin Bsin Acos C，

所以ac·－2bc·＝－ab·，

即－(b2＋c2－a2)＝－，

所以2a2＝b2＋c2；

(2)因为a＝5，cos A＝，

由(1)得b2＋c2＝50，

由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A,

则50－bc＝25，

所以bc＝，

故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，

所以b＋c＝9，

所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14．

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c．

(1)求C．

(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

[解析]　(1)由已知及正弦定理得，

2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，

即2cos Csin (A＋B)＝sin C．故2sin Ccos C＝sin C．

又C为△ABC的内角，

可得cos C＝，所以C＝．

(2)由已知，absin C＝．又C＝，所以ab＝6．

由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7．

故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25．

所以△ABC的周长为5＋．