数学必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时课后作业题

第六章　6.4　6.4.3　第3课时

A组·素养自测

一、选择题

1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　D　)

A．γ，c，α B．b，c，α

C．c，α，β D．b，α，γ

[解析]　本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．

2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是(　A　)

A．20 m， m B．10 m,20 m

C．10(－) m,20 m D． m， m

[解析]　由题意知，h甲＝20tan 60°＝20(m)，

h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．

3．(2022·南京高一检测)如图是如皋定慧寺观音塔的示意图，游客(视为质点)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进51米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若2BC＝3AC，则该观音塔的高AB约为(≈1.73)(　D　)

A．8米 B．9米

C．40米 D．45米

[解析]　不妨设AC＝x，根据条件可得BC＝BE＝x，AB＝AC＋BC＝x，∵tan∠ADB＝，

∴BD＝＝x，

∴DE＝BD－BE＝x＝51，

∴x＝≈18.05，

∴AB＝x≈45米．

4．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝．

5．(多选题)某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为(　AC　)

A． B．2

C．2 D．5

[解析]　本题考查余弦定理的应用．由题意得()2＝32＋x2－2×3xcos 30°，解得x＝或2，故选AC．

二、填空题

6．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是____km．

[解析]　如图所示，由题意易知C＝45°，

由正弦定理得＝，

从而AC＝·＝(km)．

7．一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿__北偏东40°__方向行驶__10__海里至海岛C．

[解析]　在△ABC中，∠ABC＝110°＋10°＝120°．

又AB＝BC，故∠CAB＝∠ACB＝30°，

AC＝

＝10．

故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了10海里到达海岛C．

8．如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为____m．

[解析]　延长CD交过A，B的水平线于E，F，

因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，

所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，

所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°．

所以AC＝AB＝40．

在△ACD中，由正弦定理得，＝，

即＝，

解得CD＝(m)．

三、解答题

9．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000  m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°．求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)

[解析]　在△ACD中，∠CAD＝60°，

AD＝＝CD．

在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝＝CD，

∠ADB＝90°．

在Rt△ABD中，AB＝＝CD

＝1 000(m)．

10．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．

[解析]　设建筑物的高度为h，由题图知，

PA＝2h，PB＝h，PC＝h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得

cos ∠PBA＝，  ①

cos ∠PBC＝．  ②

∵∠PBA＋∠PBC＝180°，

∴cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0．  ③

由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m．

B组·素养提升

一、选择题

1．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是(　D　)

A．100 m B．400 m

C．200 m D．500 m

[解析]　设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x． 在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m．

2．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为(　D　)

A．230 m B．240 m

C．50 m D．60 m

[解析]　在△ABC中∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，

所以∠ACB＝75°，∠ACB＝∠ABC．

所以AC＝AB＝120(m)．如图，

作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．

在Rt△ACD中，由正弦定理，得

＝，所以＝，所以CD＝60(m)，

所以河的宽度为60 m．

3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)(　B　)

A．11.4 km B．6.6 km

C．6.5 km D．5.6 km

[解析]　本题考查正弦定理的实际应用．

∵AB＝1 000×＝(km)，

∴BC＝·sin 30°＝(km)．

∴航线离山顶的距离为×sin 75°＝×sin ≈11.4(km)．

∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km)．故选B．

4．如图所示，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为(　A　)

A． km B． km

C．1.5  km D．2  km

[解析]　在△ABC中，易知A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．

二、填空题

5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile．此时海盗船距观测站10 n mile，20 min后测得海盗船距观测站20 n mile，再过____min，海盗船到达商船．

[解析]　如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20 min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得

cos ∠ADC＝＝＝．

∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，

∠BAD＝60°－30°＝30°，

∴BD＝AD＝20，×60＝(min)．

6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100 m，则山高MN＝__150__ m．

[解析]　如图，

在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100．

在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，

∴∠AMC＝45°．

由正弦定理知＝，∴AM＝100．

在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，

∴MN＝AM·sin 60°＝100×＝150(m)．

三、解答题

7．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值．

[解析]　(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α．

由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784．解得BC＝28．

所以渔船甲的速度为＝14 n mile/h．

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，

由正弦定理，得＝．

即sin α＝＝＝．

8．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6 km的速度步行了1 min以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°．

(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；

(2)求塔的高AB．(结果保留根号，不求近似值)

[解析]　(1)依据题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6 000×＝100(m)，

∠BDC＝45°－30°＝15°，

由正弦定理，得＝，

∴BC＝＝

＝

＝＝50(－1)(m)，

在Rt△ABE中，tan α＝，

∵AB为定长，当BE的长最小时，α取最大值60°，

这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos ∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(m)，

设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min，则t＝×60＝×60＝(min)．

(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin ∠BCD，

所以AB＝BE·tan 60°＝BC·sin ∠BCD·tan 60°＝50(－1)××＝25(3－)(m)，即所求塔高为25(3－)m．