高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课后作业题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第七章　7.2　7.2.1A组·素养自测一、选择题1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　B　)A．－2　　　　 B．4　　　　　C．3　　　　　 D．－4[解析]　z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．2．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(　A　)A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]　z是纯虚数⇔⇔x＝1，故选A．3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝(　B　)A．－1＋2i B．－2－2iC．1＋2i D．1－2i[解析]　＝(－2，－1)，＝(0,1)，∴z1＝－2－i，z2＝i，∴z1－z2＝－2－2i．4．(2022·杭州高一检测)已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　B　)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i[解析]　z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．5．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　A　)A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形[解析]　|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2．故选A． 二、填空题6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝__5__．[解析]　|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5．7．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__－1＋10i__．[解析]　∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，∴即∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i．8．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝__2±i__．[解析]　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i．由题意知∴或∴z＝2±i．三、解答题9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2．[解析]　z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又∵z＝13－2i，且x，y∈R，∴解得∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i．10．(1)若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝，求|z1－z2|．(2)设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来．[解析]　(1)|z1＋z2|和|z1－z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长．如图所示，由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知四边形为正方形，∴另一条对角线的长|z1－z2|＝．(2)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i．如图所示，即为z1－z2所对应的向量．根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被减向量的向量所对应的复数．B组·素养提升一、选择题1．(2022·苏州高一检测)如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点A，B，O．对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为(　D　)A．3＋i B．3－iC．1－3i D．－1＋3i[解析]　因为＝＋，所以对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以点C对应的复数为－1＋3i．2．(多选题)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么(　BD　)A．z的虚部为i B．z的虚部为1C．z＝－－i D．z＝＋i[解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，∴解得∴z＝＋i．∴z的虚部为1．3．▱ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是(　C　)A．2－3i B．4＋8iC．4－8i D．1＋4i[解析]　对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z．由平行四边形法则知＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i．故应选C．4．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　D　)A．3－2 B．－1C．3＋2 D．＋1[解析]　|z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝＝＝≤＝＋1．二、填空题5．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为__－4__．[解析]　因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以得a－b＝－4．6．已知i为虚数单位，复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1－z2＝，则z1z2＝__4__．[解析]　∵＝＝＝＝4i，∴z1－z2＝4i，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a＋ci(c∈R)，由|z1|＝|z2|＝2，得a2＋b2＝a2＋c2＝4，  ①由z1－z2＝4i，得b－c＝4，  ②由①②得a＝0，b＝2，c＝－2，于是z1＝2i，z2＝－2i，所以z1z2＝4．三、解答题7．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．[解析]　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i．又＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i．因为＝，所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以，解得所以点D对应的复数为5．(2)因为·＝||||cos B，所以cos B＝＝＝．所以sin B＝．所以S＝||||sin B＝××＝7，所以平行四边形ABCD的面积为7．8．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．[解析]　设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0．