高中人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算课后作业题

第七章　7.2　7.2.2

A组·素养自测

一、选择题

1．设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在(　A　)

A．第一象限　 B．第二象限

C．第三象限　 D．第四象限

[解析]　∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，

∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．

2．(2022·福建省三明市高三模拟)已知i是虚数单位，若复数z＝，则z的共轭复数＝(　A　)

A．＋i B．－i

C．－＋i D．－－i

[解析]　复数z＝＝＝－i．∴z的共轭复数＝＋i．故选A．

3．(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　B　)

A．－1－i B．－1＋i

C．－＋i D．－－i

[解析]　z＝＝＝＝－1＋i．故选B．

4．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　C　)

A．－1＋i B．－1－i

C．－＋i D．－－i

[解析]　＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝1＋3＝4．

＝＝－＋i．

故选C．

5．(多选题)若m∈R，则复数在复平面内所对应的点可能在(　ABC　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　因为＝

＝．

当m＞1时，复平面内对应的点在第一象限，

当－1＜m＜1时，复平面内对应的点在第二象限，

当m＜－1时，复平面内对应的点在第三象限，

故选ABC．

二、填空题

6．i是虚数单位，则复数的虚部为__－__．

[解析]　复数＝＝＝－i的虚部为－．

7．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝____．

[解析]　∵z1(1－i)＝3－i，

∴z1＝＝＝2＋i，

∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，

∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝．

8．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____．

[解析]　将x＝1＋2i代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，

即(－3－m＋2n)＋(4－2m)i＝0．

由复数相等的充要条件，

得解得

故m＋n＝2＋＝．

三、解答题

9．计算：

(1)；

(2)；

(3)6＋．

[解析]　(1)＝＝－1－3i．

(2)＝＝＝＝＋i．

(3)6＋＝6＋＝i6＋i＝－1＋i．

10．设存在复数z同时满足下列条件：

(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；

(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．

试求a的取值范围．

[解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，

y＞0，

由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，

即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai．

由复数相等的定义得，

由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x＜0，y＞0，∴－3≤x＜0，∴－6≤a＜0．

B组·素养提升

一、选择题

1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　C　)

A．6－2i B．4－2i

C．6＋2i D．4＋2i

[解析]　z＝2－i，＝2＋i，＋i＝2＋2i，

则z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i，故选C．

2．如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　B　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．

3.1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x(10－x)＝40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5＋和5－，数系扩充后这两个根分别记为5＋i和5－i．若z(5＋i)＝5－i，则复数z＝(　C　)

A．1－i B．1＋i

C． D．

[解析]　由z(5＋i)＝5－i，

得z＝＝

＝＝．

故选C．

4．(多选题)设f(n)＝n＋n(n∈N)，则集合{x|x＝f(n)}的元素有(　ABC　)

A．2 B．0

C．－2 D．1

[解析]　f(n)＝in＋(－i)n，当n＝4k(k∈N)时，f(n)＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，f(n)＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，f(n)＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，f(n)＝0．所以集合中共有－2,0,2这3个元素．

二、填空题

5．已知z＝(i是虚数单位)是方程x2－ax＋1＝0(a∈R)的一个根，则|－a|＝__1__．

[解析]　因为z＝＝＝＝－i，

则有i2＋ai＋1＝0，解得a＝0，

所以|－a|＝||＝1．

故答案为1．

6．(2022·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝__1__．

[解析]　因为(3－4i)z＝4＋3i，

所以z＝＝＝＝i．则|z|＝1．

三、解答题

7．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1．

(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．

(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．

[解析]　设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．

(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i．

因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a．

由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，

解得－≤a≤，

即z1的实部的取值范围是．

(2)ω＝＝

＝＝－i．

因为a∈，b≠0．所以ω为纯虚数．

8．已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．

(1)求复数z和|z|；

(2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，即b＝－2．

又＝＝＝＋i为实数，

所以＝0，所以a＝－2b．

又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，

所以|z|＝＝2．

(2)z1＝＋－i＝4＋＋i＝＋i．

因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，

所以，解得－2＜m＜或1＜m＜，

所以实数m的取值范围为∪．