新教材2023年高中数学本册综合检测题新人教A版必修第二册

本册综合检测题　

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　D　)

A．－2 B．－1

C．1 D．2

[解析]　由题设有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2．

故选D．

2．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：

则次品数的众数、平均数依次为(　A　)

A．0,1.1 B．0,1

C．4,1 D．0.5,2

[解析]　由表可知，次品数的众数为0，平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1．

3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是(　A　)

A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

C．若l∥m，m⊂α，则l∥α D．若l∥α，m⊂α，则l∥m

[解析]　对于A，若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内，故B不正确；对于C，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确；对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确．故选A．

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝acos B＋bcos A，则△ABC是(　A　)

A．等腰三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

[解析]　因为a＝acos B＋bcos A，所以由余弦定理可得a＝a×＋b×，整理得a＝c，所以△ABC为等腰三角形．

5．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　C　)

A．－2 B．－1

C．1 D．2

[解析]　∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，

又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，

∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，

∴a·b＝1．

故选C．

6．一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性，由多个元件组成的系统能正常工作的称为系统的可靠性，今设所用元件的可靠性都为r(0＜r＜1)，且各元件能否正常工作是相互独立的，如图所示的系统的可靠性为(　C　)

A．r2 B．2r－r2

C．2r2－r4 D．r4－4r3＋4r2

[解析]　设Ai(i＝1,2,3,4)表示“元件i能正常工作”的事件，S表示“系统能正常工作”，得P(S)＝P(A1A2∪A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(A3)P(A4)－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝r2＋r2－r4＝2r2－r4，故选C．

7．某天下课以后，教室里最后剩下两名男同学和两名女同学，若没有两位同学一起走，则第二位走的是男同学的概率为(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是4个同学要第二个离开教室，共有4种结果，满足条件的事件是第二位走的是男同学，共有2种结果，∴根据等可能事件的概率得到P＝．故选C．

8．(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　A　)

A．100π B．128π

C．144π D．192π

[解析]　设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，设球心到上下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|－|＝1或＋＝1，解得R2＝25符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π．

故选A．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．连掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝，则下列结论正确的是(　AD　)

A．事件“t＝0”的概率与事件“t＝3”的概率相等

B．事件“t＝1”的概率小于事件“t＝2”的概率

C．事件“t＝0或t＝4”与事件“t是质数”是对立事件

D．事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件

[解析]　列表如下：

由表可知事件“t＝0”的概率是＝，事件“t＝3”的概率是＝，则A正确．

事件“t＝1”的概率是＝，事件“t＝2”的概率是＝，则B错误．

由题意可知t的所有可能取值为0,1,2,3,4,5．

因为1不是质数，所以事件“t＝0或t＝4”与事件“t是质数”是互斥事件，但不是对立事件，则C错误．

事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件，则D正确．故选AD．

10．如图，在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O，则以下说法正确的有(　ABD　)

A．恒有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)成立

B．恒有·＝||2－||2成立

C．若DO＝3，AC＝10，则·＝－16

D．若＝(4,0)，＝(－1，－2)，则||＝

[解析]　∵＝＋，＝－，

∴2＝2＋2＋2·，2＝2＋2－2·，

∴2＋2＝2(2＋2)，即AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，故A正确；

∵||2－||2＝(＋)·(－)＝·，故B正确；

∵DO＝OB＝3，AO＝OC＝5，

∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝25－9＝16，故C错误；

∵－＝＋＝＝(5,2)，∴||＝，故D正确．

故选ABD．

11.2021年3月5日上午，十三届全国人大四次会议开幕，国务院总理李克强作政府工作报告．报告提出，扎实做好碳达峰、碳中和各项工作，制定“2030年碳达峰，2060年碳中和”的工作目标．为了解某企业职工对“碳达峰、碳中和”的认知程度，随机抽取了100名职工组织了“碳达峰、碳中和”知识竞赛，满分为100分(80分以上为认知程度较高)，并将所得成绩分组得到如图所示的频率分布折线图，从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是(　ABC　)

A．a＝0.03

B．对“碳达峰、碳中和”认知程度较高的人数是35人

C．中位数是76.25

D．平均分是76.05

[解析]　A选项，由题意可得a＝0.1－(0.01＋0.015＋0.04＋0.005)＝0.03，故A正确；

B选项，成绩80分及以上的职工人数为(0.03＋0.005)×10×100＝35人，故B正确；

对于C选项，设中位数为x，因为(0.01＋0.015)×10＝0.25，(0.01＋0.015＋0.04)×10＝0.55，所以x∈(70,80)，由题意可得0.25＋(x－70)×0.04＝0.5，解得x＝76.25，故C正确；

对于D选项，平均分为55×0.1＋65×0.15＋75×0.4＋85×0.3＋95×0.05＝75.5，故D不正确．

12．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是(　ABC　)

A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段

B．平面DMN⊥平面BCC1B1

C．三棱锥A1－DMN的体积为定值

D．△DMN可能为直角三角形

[解析]　用平行于平面ABC的平面截平面DMN，则交线平行于平面ABC，故A正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，若满足BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，△A1DM的面积不变，点N到平面A1DM的距离不变，所以三棱锥N－A1DM的体积不变，即三棱锥A1－DMN的体积为定值，故C正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，易证DM＝DN，所以△DMN为等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2DO．设正三棱柱的棱长为2，则DO＝，MN＝2．因为MN的最大值为BC1，BC1＝2，所以MN不可能为2，所以△DMN不可能为直角三角形，故D错误．故选ABC．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝____．

[解析]　由题意得(a－λb)·b＝0，即15－25λ＝0，解得λ＝．

14．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75°，则山的高度BC为__2__千米．

[解析]　作DE⊥BC，垂足为E，如图所示：

由题意得∠DAC＝30°，∠BAC＝45°，∠ADE＝150°，∠BDE＝75°，

所以∠BAD＝15°，∠ADB＝135°，∠ABD＝30°，且AD＝2，

在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，

＝，解得AB＝2，

所以BC＝ABsin45°＝2×＝2，

故答案为2．

15．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a＝__0.030__．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为__3__．

[解析]　∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，

∴a＝0.030．

设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，

则＝0.030×10，解得x＝30．

同理，y＝20，z＝10．

故从[140,150]的学生中选取的人数为×18＝3．

16．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于__60°__．

[解析]　如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角．因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．

(1)求·及|＋|；

(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．

[解析]　(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，

∴·＝(－3)×1＋(－1)×(－5)＝2．

∵＋＝(－2，－6)，

∴|＋|＝＝2．

(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，∴(－t)·＝0，

∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)×(－1)＝0，

∴t＝－1．

18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD＝DC＝AB，PA⊥平面ABCD．

(1)求证：平面PBD⊥平面PAD；

(2)若PA＝AB，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．

[解析]　(1)证明：取AB的中点E，连接CE，则由题意知，△BCE为正三角形，所以∠ABC＝60°．

由四边形ABCD为等腰梯形知∠BCD＝120°，设AD＝DC＝BC＝2，则AB＝4，BD＝2，故AD2＋BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，所以AD⊥BD．

又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

又AD∩PA＝A，所以BD⊥平面PAD．

又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAD．

(2)在平面ABCD中，过点C作CH∥BD交AD的延长线于点H，由(1)知BD⊥平面PAD，所以CH⊥平面PAD，连接PH，则∠CPH即为所求的角．

根据(1)中所设，在Rt△CHD中，CD＝2，∠CDH＝60°，

所以CH＝，

连接AC，在Rt△PAC中，

PC＝＝＝2．

所以在Rt△PHC中，sin ∠CPH＝＝＝，

即PC与平面PAD所成角的正弦值为．

19．(本小题满分12分)(2021·全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C．

(1)证明：BD＝b；

(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC．

[解析]　(1)由条件知＝＝⇒BD·b＝ac，

又ac＝b2，则BD·b＝b2⇒BD＝b．

(2)若AD＝2DC，则AD＝b，DC＝b．

则

⇒

①＋②×2⇒3c2＋6a2＝11b2，又b2＝ac，

3c2＋6a2＝11ac

3×＋6＝11．

令t＝．

3t＋＝11,3t2－11t＋6＝0．

(3t－2)(t－3)＝0，

∴t＝或t＝3，

当t＝3时，c＝3a，b＝a，

此时a＋b＝(＋1)a＜3a(舍)，

∴t＝．

cos∠ABC＝＝＝．

20．(本小题满分12分)为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图(如图)．已知[50,60)的频数为8，[90,100]内的频数为2．

已知分数在[80,90)的学生中，男生有2人，现从该组抽取3人“座谈”，写出样本空间并求至少有2名女生的概率．

[解析]　分数在[80,90)的学生共有8÷(0.016×10)×(0.010×10)＝5(人)．由题意知，这5人中男生有2人，女生有3人，分别编号为b1，b2和a1，a2，a3．

所以样本空间为{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(b1，b2，a1)，(b1，b2，a2)，(b1，b2，a3)}，共有10个样本点．

记A＝“至少有2名女生”，则事件A包含的样本点数为7．

所以至少有2名女生的概率为P(A)＝．

21．(本小题满分12分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；

(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P－ABC的体积．

[解析]　(1)由题设可知，PA＝PB＝PC．

由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB．

△PAC≌△PBC．

又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°．

从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．

(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l．

由题设可得rl＝，l2－r2＝2，解得r＝1，l＝，

从而AB＝．由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝．

所以三棱锥P－ABC的体积为××PA×PB×PC＝××3＝．

22．(本小题满分12分)某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：

(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；

(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率；

(3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01)．

[解析]　(1)由题意知，网店销售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24(天)．

故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80(天)．

(2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1 700)元，50x－1 700≥800⇒x≥50．

设“该实体店一天获利不低于800元”为事件A，则

P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38．

故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38．

(3)因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为

(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34＜0.5，

销售量低于55的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68＞0.5，因此中位数落在区间[50,55)内，设中位数为y，由0.34＋0.068×(y－50)＝0.5，解得y≈52.35．

所以该服装店网店销售量的中位数约为52.35．